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Suites et récurrence
Calculer
lim
n
→
+
∞
a
×
q
n
{\color{blue}{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } a\times q^{n}}}
n
→
+
∞
l
i
m
a
×
q
n
et
lim
n
→
+
∞
a
×
q
n
+
b
{\color{red}{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } a\times q^{n}+b}}
n
→
+
∞
l
i
m
a
×
q
n
+
b
- Exercice 1
8 min
15
Déterminer les limites des suites
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
suivantes :
Question 1
u
n
=
0
,
6
n
u_{n} = 0,6^{n}
u
n
=
0
,
6
n
Correction
Si
−
1
<
q
<
1
-1<q<1
−
1
<
q
<
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0
n
→
+
∞
lim
q
n
=
0
.
Si
q
>
1
q >1
q
>
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
q
n
=
+
∞
.
Comme
−
1
<
0
,
6
<
1
-1<0,6<1
−
1
<
0
,
6
<
1
alors
lim
n
→
+
∞
0
,
6
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } 0,6^{n} =0
n
→
+
∞
lim
0
,
6
n
=
0
Ainsi :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =0
n
→
+
∞
lim
u
n
=
0
Question 2
u
n
=
(
5
)
n
u_{n} = \left(\sqrt{5} \right)^{n}
u
n
=
(
5
)
n
Correction
Si
−
1
<
q
<
1
-1<q<1
−
1
<
q
<
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0
n
→
+
∞
lim
q
n
=
0
.
Si
q
>
1
q >1
q
>
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
q
n
=
+
∞
.
Comme
5
>
1
\sqrt{5} >1
5
>
1
alors :
lim
n
→
+
∞
(
5
)
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\sqrt{5} \right)^{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
(
5
)
n
=
+
∞
Ainsi :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
u
n
=
+
∞
Question 3
u
n
=
1
7
n
u_{n} =\frac{1}{7^{n} }
u
n
=
7
n
1
Correction
Soit
a
a
a
un réel non nul, alors :
1
a
n
=
(
1
a
)
n
\frac{1}{a^{n} } =\left(\frac{1}{a} \right)^{n}
a
n
1
=
(
a
1
)
n
Dans un premier temps nous pouvons écrire
u
n
=
1
7
n
u_{n} =\frac{1}{7^{n} }
u
n
=
7
n
1
sous la forme
u
n
=
(
1
7
)
n
u_{n} =\left(\frac{1}{7} \right)^{n}
u
n
=
(
7
1
)
n
Si
−
1
<
q
<
1
-1<q<1
−
1
<
q
<
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0
n
→
+
∞
lim
q
n
=
0
.
Si
q
>
1
q >1
q
>
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
q
n
=
+
∞
.
Comme
−
1
<
1
7
<
1
-1<\frac{1}{7}<1
−
1
<
7
1
<
1
alors
lim
n
→
+
∞
(
1
7
)
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{1}{7} \right)^{n} =0
n
→
+
∞
lim
(
7
1
)
n
=
0
Ainsi :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =0
n
→
+
∞
lim
u
n
=
0
Question 4
u
n
=
5
n
2
n
u_{n} =\frac{5^{n}}{2^{n} }
u
n
=
2
n
5
n
Correction
Soient
b
b
b
un réel et
a
a
a
un réel non nul, alors :
b
n
a
n
=
(
b
a
)
n
\frac{b^{n}}{a^{n} } =\left(\frac{b}{a} \right)^{n}
a
n
b
n
=
(
a
b
)
n
Dans un premier temps nous pouvons écrire
u
n
=
5
n
2
n
u_{n} =\frac{5^{n}}{2^{n} }
u
n
=
2
n
5
n
sous la forme
u
n
=
(
5
2
)
n
u_{n} =\left(\frac{5}{2} \right)^{n}
u
n
=
(
2
5
)
n
Si
−
1
<
q
<
1
-1<q<1
−
1
<
q
<
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0
n
→
+
∞
lim
q
n
=
0
.
Si
q
>
1
q >1
q
>
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
q
n
=
+
∞
.
Comme
5
2
>
1
\frac{5}{2} >1
2
5
>
1
alors :
lim
n
→
+
∞
(
5
2
)
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{5}{2} \right)^{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
(
2
5
)
n
=
+
∞
Ainsi :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
u
n
=
+
∞
Question 5
u
n
=
(
−
2
)
×
0
,
2
n
u_{n} =\left(-2\right)\times 0,2^{n}
u
n
=
(
−
2
)
×
0
,
2
n
Correction
Si
−
1
<
q
<
1
-1<q<1
−
1
<
q
<
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0
n
→
+
∞
lim
q
n
=
0
.
Si
q
>
1
q >1
q
>
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
q
n
=
+
∞
.
Comme
−
1
<
0
,
2
<
1
-1<0,2<1
−
1
<
0
,
2
<
1
alors :
lim
n
→
+
∞
(
0
,
2
)
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,2\right)^{n} =0
n
→
+
∞
lim
(
0
,
2
)
n
=
0
lim
n
→
+
∞
(
−
2
)
×
(
0
,
2
)
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-2\right)\times \left(0,2\right)^{n} =0
n
→
+
∞
lim
(
−
2
)
×
(
0
,
2
)
n
=
0
Ainsi :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =0
n
→
+
∞
lim
u
n
=
0
Question 6
u
n
=
−
6
×
(
9
8
)
n
u_{n} =-6\times \left(\frac{9}{8} \right)^{n}
u
n
=
−
6
×
(
8
9
)
n
Correction
Si
−
1
<
q
<
1
-1<q<1
−
1
<
q
<
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0
n
→
+
∞
lim
q
n
=
0
.
Si
q
>
1
q >1
q
>
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
q
n
=
+
∞
.
Comme
9
8
>
1
\frac{9}{8} >1
8
9
>
1
alors :
lim
n
→
+
∞
(
9
8
)
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{9}{8}\right)^{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
(
8
9
)
n
=
+
∞
lim
n
→
+
∞
−
6
×
(
9
8
)
n
=
−
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } -6\times\left(\frac{9}{8}\right)^{n} =-\infty
n
→
+
∞
lim
−
6
×
(
8
9
)
n
=
−
∞
Ainsi :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
−
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =-\infty
n
→
+
∞
lim
u
n
=
−
∞