Pour tout entier naturel
n≥1, posons la propriété
Pn:un≥0,8 .
Etape d’initialisationOn sait que
u1=1 ainsi
u0≥0,8.
La propriété
P1 est vraie.
Etape d’heˊreˊditeˊOn suppose qu'il existe un entier
k tel que la propriété
Pk soit vraie c'est-à-dire
uk≥0,8 et vérifions si la propriété est également vraie au rang
k+1 c'est-à-dire
uk+1≥0,8Par hypothèse de récurrence :
uk≥0,8 , on multiplie par
0,5 de part et d'autre de l'inégalité
0,5uk≥0,8×0,50,5uk≥0,40,5uk+0,4≥0,4+0,40,5uk+0,4≥0,8uk+1≥0,8Ainsi la propriété
Pk+1 est vraie.
ConclusionPuisque la propriété
P1 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel
n≥1, on a
Pn vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel
n, on a bien :