A faire pour ne pas être surpris aux DS et même au Bac blanc - Exercice 1

Soit : $$\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {40} \\ {u_{n+1} } & {=} & {0,008u_{n}\left(200-u_n\right)} \end{array}\right.$$
$$u_1$$ désigne le nombre d’individus au début de l’année $$\left(2021+1\right)$$ .
Autrement dit, $$u_n$$ désigne le nombre d’individus au début de l’année $$\left(2022\right)$$.
Ainsi :
$$u_1=0,008\times u_{0}\times\left(200-u_0\right)$$
$$u_1=0,008\times 40\times\left(200-40\right)$$
Enfin :
Selon ce modèle, il y aura $$51$$ oiseaux dans la colonie au début de l’année $$2022$$ .

$$0,008x\left(200-x\right)=x$$ équivaut successivement à :
$$0,008x\times 200+0,008x\times \left(-x\right)=x$$
$$1,6x-0,008x^2=x$$
$$1,6x-0,008x^2-x=0$$
$$0,6x-0,008x^2=0$$
$$x\left(0,6-0,008x\right)=0$$ $$\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}$$
$$x=0$$ ou $$0,6-0,008x=0$$

$$\text{\red{D'une part :}}$$ résolvons $$x=0$$ ce qui donne $$x=0$$ .

$$\text{\red{D'autre part :}}$$ résolvons $$0,6-0,008x=0$$ qui donne $$-0,008x=-0,6$$ . D'où : $$x=\frac{-0,6}{-0,008}=75$$

Les solutions de l'équation sont alors :

Soit $$f\left(x\right)=0,008x\left(200-x\right)$$ .
$$f$$ est dérivable sur $$\left[0; 100\right]$$ .
On va commencer par développer l'expression de $$f$$.
$$f\left(x\right)=0,008x\times 200+0,008x\times \left(-x\right)$$
$$f\left(x\right)=1,6x-0,008x^2$$
Calculons la dérivée de $$f$$ . Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=1,6-0,008\times 2x$$
$$f'\left(x\right)=1,6-0,016x$$
En résolvant $$f'\left(x\right)\ge 0$$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à
$$1,6-0,016x\ge 0$$
$$-0,016x\ge -1,6$$
$$x\le \frac{-1,6}{-0,016}$$
$$x\le 100$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$1,6-0,016x$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$100$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left[0;100\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
De plus :

$$f\left(0\right)=0,008\times 0\times\left(200-0\right)\Leftrightarrow f\left(0\right)=0$$

$$f\left(100\right)=0,008\times 100\times\left(200-100\right)\Leftrightarrow f\left(100\right)=80$$

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :0\le u_n\le u_{n+1}\le 100$$
$$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$$
On a vu précédemment que $$u_{0} =40$$ et $$u_{1} =51,2$$.
Ainsi : $$0\le u_{0} \le u_{1} \le 100$$
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$$
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire : $$0 \le u_{k} \le u_{k+1} \le 100$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire : $$0 \le u_{k+1} \le u_{k+2} \le 100$$
Par hypothèse de récurrence,
$$0\le u_{k} \le u_{k+1} \le 100$$ , or $$f:x\mapsto 0,008x\left(200-x\right)$$ une fonction croissante sur $$\left[0;100\right]$$ . L'ordre est donc conservé , ainsi :
$$f\left(0\right) \le f\left(u_{k}\right) \le f\left(u_{k+1}\right) \le f\left(100\right)$$ . Comme $$f\left(x\right)=0,008x\left(200-x\right)$$ alors : $$f\left(u_{k} \right)=u_{k+1}$$ et $$f\left(u_{k+1} \right)=u_{k+2}$$ . Il vient alors que :
Or : $$f\left(0\right)=0$$ et $$f\left(100\right)=80$$
Ainsi :
$$0 \le u_{k+1} \le u_{k+2} \le 80\red{\le 100}$$
Finalement : $$0 \le u_{k+1} \le u_{k+2} \le 100$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, $$0\le u_{n} \le u_{n+1} \le 100$$

D'après la question précédente, nous avons montré que : $$0\le u_n\le u_{n+1}\le 100$$
La suite $$\left(u_{n} \right)$$ est majorée par $$100$$ car : $$u_{n} \le 100$$. De plus, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est croissante car $$u_n\le u_{n+1}$$
D'après le théorème de convergence des suites monotones , on peut affirmer que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est convergente et admet donc une limite que l'on note $$\ell$$.

Comme la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est convergente alors elle admet une limite que l'on note $$\ell$$.
La suite $$\left(u_{n} \right)$$ est donc convergente et définie par $$u_{n+1} =f\left(u_{n} \right)$$ .
La fonction $$f:x\mapsto 0,008x\left(200-x\right)$$ est continue sur $$\left[0; 100\right]$$.
D'après le théorème du point fixe, $$\ell$$ est solution de l'équation
D'après la question $$2$$, nous savons que $$\ell=75$$ est l’unique réel vérifiant : $$f\left(\ell\right)=\ell$$ avec $$\ell \in \left[0; 100\right]$$.
Ainsi :

D'après l'algorithme nous savons que $$u_0=40$$ et d'après la question précédente, nous savons également que .
Cela signifie que les valeurs de la suite $$\left(u_n\right)$$ ne pourront pas dépasser $$75$$ .
Donc la condition $$U<p$$ qui correspond alors à $$U<100$$ est toujours respectée. De ce fait, la boucle ne va jamais s'arrêter.
C'est pour cette raison que l'exécution de seuil$$\left(100\right)$$ ne renvoie aucune valeur.