Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace

Propriétés de calculs du produit scalaire : symétrie, bilinéarité - Exercice 1

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Soient ∥u→∥\left\| \overrightarrow{u} \right\| et ∥v→∥\left\| \overrightarrow{v} \right\| tels que : ∥u→∥=2\left\| \overrightarrow{u} \right\| =2 ; ∥v→∥=3\left\| \overrightarrow{v} \right\| =3 et u→⋅v→=5\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =5
Question 1

Calculer : ∥u→+v→∥2\left\| \overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right\|^{2}

Correction
  • Soient deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} alors :
    ∥u→+v→∥2=∥u→∥2+2u→⋅v→+∥v→∥2\left\| \overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right\|^{2} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| ^{2} +2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} +\left\| \overrightarrow{v} \right\| ^{2}
∥u→+v→∥2=∥u→∥2+2u→⋅v→+∥v→∥2\left\| \overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right\|^{2} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| ^{2} +2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} +\left\| \overrightarrow{v} \right\| ^{2} équivaut successivement à :
∥u→+v→∥2=22+2×5+32\left\| \overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right\|^{2} =2^{2} +2\times5 +3 ^{2}
∥u→+v→∥2=4+10+9\left\| \overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right\|^{2} =4 +10 +9
∥u→+v→∥2=23\left\| \overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right\|^{2} =23