Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace

Produit scalaire : mise en situation - Exercice 4

12 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Raisonner.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Raisonner.}     \;\; 2°)  Calculer.{\color{red}2°)\;Calculer.}
Question 1
Soit ABCDEFGHABCDEFGH un cube . Les points II et JJ sont les milieux respectifs des segments [HD]\left[HD\right] et [EA]\left[EA\right] .

Démontrer que (DC→;DH→)\left(\overrightarrow{DC} ;\overrightarrow{DH} \right) est une base du plan (HDC)\left(HDC\right)

Correction
On appelle base d'un plan tout couple (u→;v→)\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) de vecteurs non colinéaires.
Les vecteurs DC→\overrightarrow{DC} et DH→\overrightarrow{DH} ne sont pas colinéaires car les droites (DC)\left(DC\right) et (DH)\left(DH\right) sont sécantes en DD.
Il en résulte donc que (DC→;DH→)\left(\overrightarrow{DC} ;\overrightarrow{DH} \right) est bien une base du plan (HDC)\left(HDC\right) .
Question 2

Démontrer que la droite (IJ)\left(IJ\right) est orthogonale au plan (HDC)\left(HDC\right)

Correction
Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
Calculons d’une part :\purple{\text{Calculons d'une part :}}
IJ→⋅DH→=(IH→+HE→+EJ→)⋅DH→\overrightarrow{IJ} \cdot \overrightarrow{DH} =\left(\overrightarrow{IH} +\overrightarrow{HE} +\overrightarrow{EJ} \right)\cdot \overrightarrow{DH}
IJ→⋅DH→=(12DH→+HE→+12EA→)⋅DH→\overrightarrow{IJ} \cdot \overrightarrow{DH} =\left(\frac{1}{2} \overrightarrow{DH} +\overrightarrow{HE} +\frac{1}{2} \overrightarrow{EA} \right)\cdot \overrightarrow{DH}
IJ→⋅DH→=(12DH→+HE→−12DH→)⋅DH→\overrightarrow{IJ} \cdot \overrightarrow{DH} =\left(\frac{1}{2} \overrightarrow{DH} +\overrightarrow{HE} -\frac{1}{2} \overrightarrow{DH} \right)\cdot \overrightarrow{DH}
IJ→⋅DH→=HE→⋅DH→\overrightarrow{IJ} \cdot \overrightarrow{DH} =\overrightarrow{HE} \cdot \overrightarrow{DH}
IJ→⋅DH→=0\overrightarrow{IJ} \cdot \overrightarrow{DH} =0
Il en résulte que les droites (IJ)\left(IJ\right) et (DH)\left(DH\right) sont orthogonales.
Calculons d’autre :\purple{\text{Calculons d'autre :}}
IJ→⋅DC→=(IH→+HE→+EJ→)⋅DC→\overrightarrow{IJ} \cdot \overrightarrow{DC} =\left(\overrightarrow{IH} +\overrightarrow{HE} +\overrightarrow{EJ} \right)\cdot \overrightarrow{DC}
IJ→⋅DC→=(12DH→+HE→+12EA→)⋅DC→\overrightarrow{IJ} \cdot \overrightarrow{DC} =\left(\frac{1}{2} \overrightarrow{DH} +\overrightarrow{HE} +\frac{1}{2} \overrightarrow{EA} \right)\cdot \overrightarrow{DC}
IJ→⋅DC→=(12DH→+HE→−12DH→)⋅DC→\overrightarrow{IJ} \cdot \overrightarrow{DC} =\left(\frac{1}{2} \overrightarrow{DH} +\overrightarrow{HE} -\frac{1}{2} \overrightarrow{DH} \right)\cdot \overrightarrow{DC}
IJ→⋅DC→=HE→⋅DC→\overrightarrow{IJ} \cdot \overrightarrow{DC} =\overrightarrow{HE} \cdot \overrightarrow{DC}
IJ→⋅DC→=DA→⋅HD→\overrightarrow{IJ} \cdot \overrightarrow{DC} =\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{HD}
Ainsi :
IJ→⋅DC→=0\overrightarrow{IJ} \cdot \overrightarrow{DC} =0
Il en résulte que les droites (IJ)\left(IJ\right) et (DC)\left(DC\right) sont orthogonales.
Conclusion :\purple{\text{Conclusion :}} D'après la question 11, nous avons montré que (DC→;DH→)\left(\overrightarrow{DC} ;\overrightarrow{DH} \right) est une base du plan (HDC)\left(HDC\right).
IJ→\overrightarrow{IJ} est orthogonal à DC→\overrightarrow{DC} et IJ→\overrightarrow{IJ} est orthogonal à DH→\overrightarrow{DH}.
Il en résulte que la droite (IJ)\left(IJ\right) est orthogonale à deux droites sécantes du plan (HDC)\left(HDC\right).
On peut alors en conclure que la droite (IJ)\left(IJ\right) est orthogonale au plan (HDC)\left(HDC\right).