Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace

Produit scalaire : mise en situation - Exercice 3

4 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Raisonner.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Raisonner.}     \;\; 2°)  Calculer.{\color{red}2°)\;Calculer.}
Question 1
Soit ABCDABCD un tétraèdre régulier de coté 55 cm.

Calculer BD→⋅BC→\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{BC}

Correction
  • Un tétraèdre régulier est un tétraèdre dont les 44 faces sont des triangles équilatéraux .
  • Le produit scalaire de deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} non nuls est défini par :
    u→⋅v→=∥u→∥×∥v→∥×cos⁡(u→,v→)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
D'après le rappel, le tétraèdre régulier est un tétraèdre dont les 44 faces sont des triangles équilatéraux .
Il en résulte donc que (BD→,BC→)=π3 \left(\overrightarrow{BD} ,\overrightarrow{BC} \right)=\frac{\pi}{3}
Ainsi :
BD→⋅BC→=∥BD→∥×∥BC→∥×cos⁡(BD→,BD→)\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{BC} =\left\| \overrightarrow{BD} \right\| \times \left\| \overrightarrow{BC} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{BD} ,\overrightarrow{BD} \right)
BD→⋅BC→=5×5×cos⁡(π3)\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{BC} =5 \times 5 \times \cos \left(\frac{\pi}{3} \right)
BD→⋅BC→=5×5×12\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{BC} =5 \times 5 \times \frac{1}{2}
Finalement :
BD→⋅BC→=252\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{BC} =\frac{25}{2}