Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace

Produit scalaire : mise en situation - Exercice 2

5 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Raisonner.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Raisonner.}     \;\; 2°)  Calculer.{\color{red}2°)\;Calculer.}
Question 1
Soit ABCDEFGHABCDEFGH un cube .

Lina affirme que les droites (AE)\left(AE\right) et (BD)\left(BD\right) sont orthogonales. Qu'en pensez-vous ?

Correction
AE→⋅BD→=AE→⋅(BA→+AD→)\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BD} =\overrightarrow{AE} \cdot \left(\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{AD} \right)
AE→⋅BD→=AE→⋅BA→+AE→⋅AD→\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BD} =\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BA} +\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AD}
ABCDEFGHABCDEFGH étant un cube, on vérifie aisément que :
Les droites (AE)\left(AE\right) et (BA)\left(BA\right) sont orthogonales donc : AE→⋅BA→=0\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BA}=0
Les droites (AE)\left(AE\right) et (AD)\left(AD\right) sont orthogonales donc : AE→⋅AD→=0\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AD}=0
Ainsi :
AE→⋅BD→=0+0\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BD} =0+0
Finalement :
AE→⋅BD→=0\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BD} =0

Lina a donc raison .