Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace
Produit scalaire : mise en situation
Exercice 1
Soit ABCDEFGH un cube d'arête 3 cm .
1
Calculer EC⋅AH
Correction
Nous appliquons la relation de Chasles :
EC⋅AH=(EA+AB+BC)⋅(AE+EH)
EC⋅AH=EA⋅AE+EA⋅EH+AB⋅AE+AB⋅EH+BC⋅AE+BC⋅EH
On vérifie facilement que :
Les droites (EA) et (EH) sont orthogonales donc EA⋅EH=0
Les droites (AB) et (AE) sont orthogonales donc AB⋅AE=0
Les droites (AB) et (EH) sont orthogonales donc AB⋅EH=0
les droites (BC) et (AE) sont orthogonales donc BC⋅AE=0
Il vient alors que :
EC⋅AH=EA⋅AE+0+0+0+0+BC⋅EH
Les vecteurs EA et AE sont colinéaires et de sens opposés . Ainsi : EA⋅AE=−EA×AE
Les vecteurs BC et EH sont colinéaires et de même sens. Ainsi : BC⋅EH=BC×EH
On peut maintenant écrire que :
EC⋅AH=EA⋅AE+0+0+0+0+BC⋅EH
EC⋅AH=−EA×AE+0+0+0+0+BC×EH
EC⋅AH=−3×3+0+0+0+0+3×3
EC⋅AH=−9+9
Finalement :
EC⋅AH=(EA+AB+BC)⋅(AE+EH)
EC⋅AH=EA⋅AE+EA⋅EH+AB⋅AE+AB⋅EH+BC⋅AE+BC⋅EH
On vérifie facilement que :
Les droites (EA) et (EH) sont orthogonales donc EA⋅EH=0
Les droites (AB) et (AE) sont orthogonales donc AB⋅AE=0
Les droites (AB) et (EH) sont orthogonales donc AB⋅EH=0
les droites (BC) et (AE) sont orthogonales donc BC⋅AE=0
Il vient alors que :
EC⋅AH=EA⋅AE+0+0+0+0+BC⋅EH
- Si AB et AC sont colinéaires et de même sens alors : AB⋅AC=AB×AC
- Si AB et AC sont colinéaires et de sens opposés alors : AB⋅AC=−AB×AC
Les vecteurs BC et EH sont colinéaires et de même sens. Ainsi : BC⋅EH=BC×EH
On peut maintenant écrire que :
EC⋅AH=EA⋅AE+0+0+0+0+BC⋅EH
EC⋅AH=−EA×AE+0+0+0+0+BC×EH
EC⋅AH=−3×3+0+0+0+0+3×3
EC⋅AH=−9+9
Finalement :
EC⋅AH=0
2
Calculer EC⋅AF
Correction
Nous appliquons la relation de Chasles :
EC⋅AF=(EA+AB+BC)⋅(AB+BF)
EC⋅AF=EA⋅AB+EA⋅BF+AB⋅AB+AB⋅BF+BC⋅AB+BC⋅BF
On vérifie facilement que :
Les droites (EA) et (AB) sont orthogonales donc EA⋅AB=0
Les droites (AB) et (BF) sont orthogonales donc AB⋅BF=0
Les droites (BC) et (AB) sont orthogonales donc BC⋅AB=0
les droites (BC) et (BF) sont orthogonales donc BC⋅BF=0
Il vient alors que :
EC⋅AF=0+EA⋅BF+AB⋅AB+0+0+0
Les vecteurs EA et BF sont colinéaires et de sens opposés . Ainsi : EA⋅BF=−EA×BF
Les vecteurs AB et AB sont colinéaires et de même sens. Ainsi : AB⋅AB=AB×AB
On peut maintenant écrire que :
EC⋅AF=0−EA×BF+AB×AB+0+0+0
EC⋅AF=0−3×3+3×3+0+0+0
EC⋅AF=−9+9
Finalement :
EC⋅AF=(EA+AB+BC)⋅(AB+BF)
EC⋅AF=EA⋅AB+EA⋅BF+AB⋅AB+AB⋅BF+BC⋅AB+BC⋅BF
On vérifie facilement que :
Les droites (EA) et (AB) sont orthogonales donc EA⋅AB=0
Les droites (AB) et (BF) sont orthogonales donc AB⋅BF=0
Les droites (BC) et (AB) sont orthogonales donc BC⋅AB=0
les droites (BC) et (BF) sont orthogonales donc BC⋅BF=0
Il vient alors que :
EC⋅AF=0+EA⋅BF+AB⋅AB+0+0+0
- Si AB et AC sont colinéaires et de même sens alors : AB⋅AC=AB×AC
- Si AB et AC sont colinéaires et de sens opposés alors : AB⋅AC=−AB×AC
Les vecteurs AB et AB sont colinéaires et de même sens. Ainsi : AB⋅AB=AB×AB
On peut maintenant écrire que :
EC⋅AF=0−EA×BF+AB×AB+0+0+0
EC⋅AF=0−3×3+3×3+0+0+0
EC⋅AF=−9+9
Finalement :
EC⋅AF=0
3
Que peut-on conclure ?
Correction
Nous avons montré que EC⋅AH=0 et EC⋅AF=0
Cela signifie que la droite (EC) est parallèle à la droite (AH) et que la droite (EC) est également parallèle à la droite (AF) .
Or les droites (AF) et (AH) sont coplanaires car sécantes en A. Cela signifie donc que les vecteurs AH et AF sont non colinéaires et que les droites (AF) et (AH) appartiennent au plan (AFH).
Finalement, la droite (EC) est orthogonale à deux vecteurs non colinéaires du plan (AFH) donc la droite (EC) est orthogonale au plan (AFH).
Cela signifie que la droite (EC) est parallèle à la droite (AH) et que la droite (EC) est également parallèle à la droite (AF) .
Or les droites (AF) et (AH) sont coplanaires car sécantes en A. Cela signifie donc que les vecteurs AH et AF sont non colinéaires et que les droites (AF) et (AH) appartiennent au plan (AFH).
Finalement, la droite (EC) est orthogonale à deux vecteurs non colinéaires du plan (AFH) donc la droite (EC) est orthogonale au plan (AFH).
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