Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace
Produit scalaire : mise en situation
Exercice 1
COMPETENCES:1°)Raisonner. 2°)Calculer.
Soit ABCDEFGH un cube d'arête 3 cm .
1
Calculer EC⋅AH
Correction
Nous appliquons la relation de Chasles :
EC⋅AH=(EA+AB+BC)⋅(AE+EH)
EC⋅AH=EA⋅AE+EA⋅EH+AB⋅AE+AB⋅EH+BC⋅AE+BC⋅EH
On vérifie facilement que :
Les droites (EA) et (EH) sont orthogonales donc EA⋅EH=0
Les droites (AB) et (AE) sont orthogonales donc AB⋅AE=0
Les droites (AB) et (EH) sont orthogonales donc AB⋅EH=0
les droites (BC) et (AE) sont orthogonales donc BC⋅AE=0
Il vient alors que :
EC⋅AH=EA⋅AE+0+0+0+0+BC⋅EH
Les vecteurs EA et AE sont colinéaires et de sens opposés . Ainsi : EA⋅AE=−EA×AE
Les vecteurs BC et EH sont colinéaires et de même sens. Ainsi : BC⋅EH=BC×EH
On peut maintenant écrire que :
EC⋅AH=EA⋅AE+0+0+0+0+BC⋅EH
EC⋅AH=−EA×AE+0+0+0+0+BC×EH
EC⋅AH=−3×3+0+0+0+0+3×3
EC⋅AH=−9+9
Finalement :
EC⋅AH=(EA+AB+BC)⋅(AE+EH)
EC⋅AH=EA⋅AE+EA⋅EH+AB⋅AE+AB⋅EH+BC⋅AE+BC⋅EH
On vérifie facilement que :
Les droites (EA) et (EH) sont orthogonales donc EA⋅EH=0
Les droites (AB) et (AE) sont orthogonales donc AB⋅AE=0
Les droites (AB) et (EH) sont orthogonales donc AB⋅EH=0
les droites (BC) et (AE) sont orthogonales donc BC⋅AE=0
Il vient alors que :
EC⋅AH=EA⋅AE+0+0+0+0+BC⋅EH
- Si AB et AC sont colinéaires et de même sens alors : AB⋅AC=AB×AC
- Si AB et AC sont colinéaires et de sens opposés alors : AB⋅AC=−AB×AC
Les vecteurs BC et EH sont colinéaires et de même sens. Ainsi : BC⋅EH=BC×EH
On peut maintenant écrire que :
EC⋅AH=EA⋅AE+0+0+0+0+BC⋅EH
EC⋅AH=−EA×AE+0+0+0+0+BC×EH
EC⋅AH=−3×3+0+0+0+0+3×3
EC⋅AH=−9+9
Finalement :
EC⋅AH=0
2
Calculer EC⋅AF
Correction
Nous appliquons la relation de Chasles :
EC⋅AF=(EA+AB+BC)⋅(AB+BF)
EC⋅AF=EA⋅AB+EA⋅BF+AB⋅AB+AB⋅BF+BC⋅AB+BC⋅BF
On vérifie facilement que :
Les droites (EA) et (AB) sont orthogonales donc EA⋅AB=0
Les droites (AB) et (BF) sont orthogonales donc AB⋅BF=0
Les droites (BC) et (AB) sont orthogonales donc BC⋅AB=0
les droites (BC) et (BF) sont orthogonales donc BC⋅BF=0
Il vient alors que :
EC⋅AF=0+EA⋅BF+AB⋅AB+0+0+0
Les vecteurs EA et BF sont colinéaires et de sens opposés . Ainsi : EA⋅BF=−EA×BF
Les vecteurs AB et AB sont colinéaires et de même sens. Ainsi : AB⋅AB=AB×AB
On peut maintenant écrire que :
EC⋅AF=0−EA×BF+AB×AB+0+0+0
EC⋅AF=0−3×3+3×3+0+0+0
EC⋅AF=−9+9
Finalement :
EC⋅AF=(EA+AB+BC)⋅(AB+BF)
EC⋅AF=EA⋅AB+EA⋅BF+AB⋅AB+AB⋅BF+BC⋅AB+BC⋅BF
On vérifie facilement que :
Les droites (EA) et (AB) sont orthogonales donc EA⋅AB=0
Les droites (AB) et (BF) sont orthogonales donc AB⋅BF=0
Les droites (BC) et (AB) sont orthogonales donc BC⋅AB=0
les droites (BC) et (BF) sont orthogonales donc BC⋅BF=0
Il vient alors que :
EC⋅AF=0+EA⋅BF+AB⋅AB+0+0+0
- Si AB et AC sont colinéaires et de même sens alors : AB⋅AC=AB×AC
- Si AB et AC sont colinéaires et de sens opposés alors : AB⋅AC=−AB×AC
Les vecteurs AB et AB sont colinéaires et de même sens. Ainsi : AB⋅AB=AB×AB
On peut maintenant écrire que :
EC⋅AF=0−EA×BF+AB×AB+0+0+0
EC⋅AF=0−3×3+3×3+0+0+0
EC⋅AF=−9+9
Finalement :
EC⋅AF=0
3
Que peut-on conclure ?
Correction
Nous avons montré que EC⋅AH=0 et EC⋅AF=0
Cela signifie que la droite (EC) est orthogonale à la droite (AH) et que la droite (EC) est également orthogonale à la droite (AF) .
Or les droites (AF) et (AH) sont coplanaires car sécantes en A. Cela signifie donc que les vecteurs AH et AF sont non colinéaires et que les droites (AF) et (AH) appartiennent au plan (AFH).
Finalement, la droite (EC) est orthogonale à deux vecteurs non colinéaires du plan (AFH) donc la droite (EC) est orthogonale au plan (AFH).
Cela signifie que la droite (EC) est orthogonale à la droite (AH) et que la droite (EC) est également orthogonale à la droite (AF) .
Or les droites (AF) et (AH) sont coplanaires car sécantes en A. Cela signifie donc que les vecteurs AH et AF sont non colinéaires et que les droites (AF) et (AH) appartiennent au plan (AFH).
Finalement, la droite (EC) est orthogonale à deux vecteurs non colinéaires du plan (AFH) donc la droite (EC) est orthogonale au plan (AFH).
Exercice 2
COMPETENCES:1°)Raisonner. 2°)Calculer.
Soit ABCDEFGH un cube .
1
Lina affirme que les droites (AE) et (BD) sont orthogonales. Qu'en pensez-vous ?
Correction
AE⋅BD=AE⋅(BA+AD)
AE⋅BD=AE⋅BA+AE⋅AD
ABCDEFGH étant un cube, on vérifie aisément que :
Les droites (AE) et (BA) sont orthogonales donc : AE⋅BA=0
Les droites (AE) et (AD) sont orthogonales donc : AE⋅AD=0
Ainsi :
AE⋅BD=0+0
Finalement :
Lina a donc raison .
AE⋅BD=AE⋅BA+AE⋅AD
ABCDEFGH étant un cube, on vérifie aisément que :
Les droites (AE) et (BA) sont orthogonales donc : AE⋅BA=0
Les droites (AE) et (AD) sont orthogonales donc : AE⋅AD=0
Ainsi :
AE⋅BD=0+0
Finalement :
AE⋅BD=0
Lina a donc raison .
Exercice 3
COMPETENCES:1°)Raisonner. 2°)Calculer.
Soit ABCD un tétraèdre régulier de coté 5 cm.
1
Calculer BD⋅BC
Correction
- Un tétraèdre régulier est un tétraèdre dont les 4 faces sont des triangles équilatéraux .
- Le produit scalaire de deux vecteurs u et v non nuls est défini par : u⋅v=∥∥∥u∥∥∥×∥∥∥v∥∥∥×cos(u,v)
Il en résulte donc que (BD,BC)=3π
Ainsi :
BD⋅BC=∥∥∥BD∥∥∥×∥∥∥BC∥∥∥×cos(BD,BD)
BD⋅BC=5×5×cos(3π)
BD⋅BC=5×5×21
Finalement :
BD⋅BC=225
Exercice 4
COMPETENCES:1°)Raisonner. 2°)Calculer.
Soit ABCDEFGH un cube . Les points I et J sont les milieux respectifs des segments [HD] et [EA] .
1
Démontrer que (DC;DH) est une base du plan (HDC)
Correction
On appelle base d'un plan tout couple (u;v) de vecteurs non colinéaires.
Les vecteurs DC et DH ne sont pas colinéaires car les droites (DC) et (DH) sont sécantes en D.Il en résulte donc que (DC;DH) est bien une base du plan (HDC) .
2
Démontrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (HDC)
Correction
Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
Calculons d’une part :IJ⋅DH=(IH+HE+EJ)⋅DH
IJ⋅DH=(21DH+HE+21EA)⋅DH
IJ⋅DH=(21DH+HE−21DH)⋅DH
IJ⋅DH=HE⋅DH
IJ⋅DH=0
Il en résulte que les droites (IJ) et (DH) sont orthogonales.Calculons d’autre :
IJ⋅DC=(IH+HE+EJ)⋅DC
IJ⋅DC=(21DH+HE+21EA)⋅DC
IJ⋅DC=(21DH+HE−21DH)⋅DC
IJ⋅DC=HE⋅DC
IJ⋅DC=DA⋅HD
Ainsi :
IJ⋅DC=0
Il en résulte que les droites (IJ) et (DC) sont orthogonales.Conclusion : D'après la question 1, nous avons montré que (DC;DH) est une base du plan (HDC).
IJ est orthogonal à DC et IJ est orthogonal à DH.
Il en résulte que la droite (IJ) est orthogonale à deux droites sécantes du plan (HDC).
On peut alors en conclure que la droite (IJ) est orthogonale au plan (HDC).
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