Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace

Montrer que deux plans sont parallèles

Exercice 1

Dans l'espace muni d'un repère (0;i;j;k)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right), on considère les deux plans (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) admettant pour équation cartésienne
(P1):3x4y+z1=0\left(P_{1} \right):3x-4y+z-1=0 et (P2):xy+2z+1=0\left(P_{2} \right):x-y+2z+1=0
1

(P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) sont-ils parallèles ?

Correction
Dans l'espace muni d'un repère (0;i;j;k)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right), on considère les deux plans (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) admettant pour équation cartésienne
(P1):xy+z1=0\left(P_{1} \right):x-y+z-1=0 et (P2):2x2y+2z+5=0\left(P_{2} \right):2x-2y+2z+5=0
2

(P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) sont-ils parallèles ?

Correction
Dans l'espace muni d'un repère (0;i;j;k)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right), on considère les deux plans (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) admettant pour équation cartésienne
(P1):2x+y+4z+3=0\left(P_{1} \right):2x+y+4z+3=0 et (P2):4x+2y+8=0\left(P_{2} \right):4x+2y+8=0 .
3

(P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) sont-ils parallèles ?

Correction
Dans l'espace muni d'un repère (0;i;j;k)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right), on considère les deux plans (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) admettant pour équation cartésienne
(P1):5x+2y+3z+4=0\left(P_{1} \right):5x+2y+3z+4=0 et (P2):3x+65y+95z7=0\left(P_{2} \right):3x+\frac{6}{5}y+\frac{9}{5}z-7=0
4

(P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) sont-ils parallèles ?

Correction

Exercice 2

Dans l'espace muni d'un repère (0;i;j;k)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right), on considère les deux plans (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) admettant pour équation cartésienne
(P1):xy+2z1=0\left(P_{1} \right):x-y+2z-1=0 et (P2):2x+2y4z+1=0\left(P_{2} \right):-2x+2y-4z+1=0
1

(P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) sont-ils parallèles ? Si oui, sont-ils également confondus ?

Correction
Dans l'espace muni d'un repère (0;i;j;k)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right), on considère les deux plans (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) admettant pour équation cartésienne
(P1):2x4y+6z8=0\left(P_{1} \right):2x-4y+6z-8=0 et (P2):x+2y3z+4=0\left(P_{2} \right):-x+2y-3z+4=0
2

(P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) sont-ils parallèles ? Si oui, sont-ils également confondus ?

Correction
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