Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace

Montrer que deux droites sont orthogonales - Exercice 3

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Question 1
On donne les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) de représentations paramétriques suivantes
(d1):{x=ty=4z=−2+4t\left(d_{1} \right):\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {t} \\ {y} & {=} & {4} \\ {z} & {=} & {-2+4t} \end{array}\right. où t∈t\in R\mathbb{R} et (d2):{x=2s+1y=1+3sz=2\left(d_{2} \right):\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {2s+1} \\ {y} & {=} & {1+3s} \\ {z} & {=} & {2} \end{array}\right. où s∈s\in R\mathbb{R}

Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont-elles orthogonales ?

Correction
  • Deux droites sont orthogonales si le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul.
    • On note u1→(104)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {4} \end{array}\right) et u2→(230)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \\ {0} \end{array}\right) respectivement les vecteurs directeurs des droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right).
    u1→⋅u2→=1×2+0×3+4×0=2≠0.\overrightarrow{u_{1} } \cdot\overrightarrow{u_{2} } =1\times 2+0\times 3+4\times 0=2\ne 0.
    Dans ce cas, les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) ne sont pas orthogonales.