Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace

Montrer que deux droites sont orthogonales - Exercice 2

3 min
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On donne les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) de représentations paramétriques suivantes
(d1):{x=−t−1y=2t+5z=t+3\left(d_{1} \right):\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-t-1} \\ {y} & {=} & {2t+5} \\ {z} & {=} & {t+3} \end{array}\right. où t∈t\in R\mathbb{R} et (d2):{x=3sy=−s+1z=5s−1\left(d_{2} \right):\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {3s} \\ {y} & {=} & {-s+1} \\ {z} & {=} & {5s-1} \end{array}\right. où s∈s\in R\mathbb{R}
Question 1

Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont-elles orthogonales ?

Correction
Deux droites sont orthogonales si le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul.
On note u1→(−121)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \\ {1} \end{array}\right) et u2→(3−15)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-1} \\ {5} \end{array}\right) respectivement les vecteurs directeurs des droites(d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right).
u1→⋅u2→=(−1)×3+2×(−1)+1×5=0.\overrightarrow{u_{1} } \cdot\overrightarrow{u_{2} } =\left(-1\right)\times 3+2\times \left(-1\right)+1\times 5=0.
Dans ce cas, les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont orthogonales.