Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace

Montrer qu'une droite et un plan sont parallèles - Exercice 3

5 min
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Question 1
Dans l'espace muni d'un repère (0;i→;j→;k→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right), on considère le plan (P1)\left(P_{1} \right) et la droite (d1)\left(d_{1} \right) admettant pour équations respectives :
(P1):4x−2y+z=0\left(P_{1} \right):4x-2y+z=0 et (d1):{x=2t−6y=4t+3z=−2t+1\left(d_{1} \right):\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {2t-6} \\ {y} & {=} & {4t+3} \\ {z} & {=} & {-2t+1} \end{array}\right. où t∈t\in R\mathbb{R}

(P1)\left(P_{1} \right) et (d1)\left(d_{1} \right) sont-ils parallèles ?

Correction
    Soient n1→\overrightarrow{n_{1} } un vecteur normal du plan (P1)\left(P_{1} \right) et u1→\overrightarrow{u_{1} } un vecteur directeur de (d1)\left(d_{1} \right).
  • si n1→⋅u1→=0\overrightarrow{n_{1} } \cdot\overrightarrow{u_{1} } =0 alors (P1)\left(P_{1} \right) et (d1)\left(d_{1} \right) sont parallèles.
  • si n1→⋅u1→≠0\overrightarrow{n_{1} } \cdot\overrightarrow{u_{1} } \ne 0 alors (P1)\left(P_{1} \right) et (d1)\left(d_{1} \right) ne sont pas parallèles.
Soient n1→(4−21)\overrightarrow{n_{1} } \left(\begin{array}{c} {4} \\ {-2} \\ {1} \end{array}\right) un vecteur normal du plan (P1)\left(P_{1} \right) et u1→(24−2)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {2} \\ {4} \\ {-2} \end{array}\right) un vecteur directeur de (d1)\left(d_{1} \right).
n1→⋅u1→=4×2+(−2)×4+1×(−2)=−2≠0.\overrightarrow{n_{1} } \cdot\overrightarrow{u_{1} } =4\times 2+\left(-2\right)\times 4+1\times \left(-2\right)=-2\ne 0 .
(P1)\left(P_{1} \right) et (d1)\left(d_{1} \right) ne sont pas parallèles.