Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace

Montrer qu'une droite et un plan sont parallèles - Exercice 1

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Dans l'espace muni d'un repère (0;i→;j→;k→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right), on considère le plan (P1)\left(P_{1} \right) et la droite (d1)\left(d_{1} \right) admettant pour équations respectives :
(P1):3x−4y+5z−1=0\left(P_{1} \right):3x-4y+5z-1=0 et (d1):{x=−t−1y=2t+5z=t+3\left(d_{1} \right):\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-t-1} \\ {y} & {=} & {2t+5} \\ {z} & {=} & {t+3} \end{array}\right. où t∈t\in R\mathbb{R}
Question 1

(P1)\left(P_{1} \right) et (d1)\left(d_{1} \right) sont-ils parallèles ?

Correction
    Soient n1→\overrightarrow{n_{1} } un vecteur normal du plan (P1)\left(P_{1} \right) et u1→\overrightarrow{u_{1} } un vecteur directeur de (d1)\left(d_{1} \right).
  • si n1→⋅u1→=0\overrightarrow{n_{1} } \cdot\overrightarrow{u_{1} } =0 alors (P1)\left(P_{1} \right) et (d1)\left(d_{1} \right) sont parallèles.
  • si n1→⋅u1→≠0\overrightarrow{n_{1} } \cdot\overrightarrow{u_{1} } \ne 0 alors (P1)\left(P_{1} \right) et (d1)\left(d_{1} \right) ne sont pas parallèles.
Soient n1→(3−45)\overrightarrow{n_{1} } \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-4} \\ {5} \end{array}\right) un vecteur normal du plan (P1)\left(P_{1} \right) et u1→(−121)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \\ {1} \end{array}\right) un vecteur directeur de (d1)\left(d_{1} \right).
n1→⋅u1→=3×(−1)+(−4)×2+5×1=−6≠0.\overrightarrow{n_{1} } \cdot\overrightarrow{u_{1} } =3\times \left(-1\right)+\left(-4\right)\times 2+5\times 1=-6\ne 0 .
(P1)\left(P_{1} \right) et (d1)\left(d_{1} \right) ne sont pas parallèles.