Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace
Montrer qu'une droite et un plan sont parallèles
Exercice 1
Dans l'espace muni d'un repère (0;i;j;k), on considère le plan (P1) et la droite (d1) admettant pour équations respectives : (P1):3x−4y+5z−1=0 et (d1):⎩⎨⎧xyz===−t−12t+5t+3 où t∈R
1
(P1) et (d1) sont-ils parallèles ?
Correction
Soient n1 un vecteur normal du plan (P1) et u1 un vecteur directeur de (d1).
si n1⋅u1=0 alors (P1) et (d1) sont parallèles.
si n1⋅u1=0 alors (P1) et (d1) ne sont pas parallèles.
Soient n1⎝⎛3−45⎠⎞ un vecteur normal du plan (P1) et u1⎝⎛−121⎠⎞ un vecteur directeur de (d1). n1⋅u1=3×(−1)+(−4)×2+5×1=−6=0. (P1) et (d1) ne sont pas parallèles.
Exercice 2
Dans l'espace muni d'un repère (0;i;j;k), on considère le plan (P1) et la droite (d1) admettant pour équations respectives : (P1):x−4y+3z−1=0 et (d1):⎩⎨⎧xyz===2t+12t2t+3 où t∈R
1
(P1) et (d1) sont-ils parallèles ?
Correction
Soient n1 un vecteur normal du plan (P1) et u1 un vecteur directeur de (d1).
si n1⋅u1=0 alors (P1) et (d1) sont parallèles.
si n1⋅u1=0 alors (P1) et (d1) ne sont pas parallèles.
Soient n1⎝⎛1−43⎠⎞ un vecteur normal du plan (P1) et u1⎝⎛222⎠⎞ un vecteur directeur de (d1). n1⋅u1=1×2+(−4)×2+3×2=0 . (P1) et (d1) sont parallèles.
Exercice 3
Dans l'espace muni d'un repère (0;i;j;k), on considère le plan (P1) et la droite (d1) admettant pour équations respectives : (P1):4x−2y+z=0 et (d1):⎩⎨⎧xyz===2t−64t+3−2t+1 où t∈R
1
(P1) et (d1) sont-ils parallèles ?
Correction
Soient n1 un vecteur normal du plan (P1) et u1 un vecteur directeur de (d1).
si n1⋅u1=0 alors (P1) et (d1) sont parallèles.
si n1⋅u1=0 alors (P1) et (d1) ne sont pas parallèles.
Soient n1⎝⎛4−21⎠⎞ un vecteur normal du plan (P1) et u1⎝⎛24−2⎠⎞ un vecteur directeur de (d1). n1⋅u1=4×2+(−2)×4+1×(−2)=−2=0. (P1) et (d1) ne sont pas parallèles.
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