Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace

Montrer qu'une droite et un plan sont orthogonaux - Exercice 3

5 min
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Question 1
Dans l'espace muni d'un repère (0;i→;j→;k→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right), on considère le plan (P1)\left(P_{1} \right) et la droite (d1)\left(d_{1} \right) admettant pour équations respectives :
(P1):5x+2y+6z−1=0\left(P_{1} \right):5x+2y+6z-1=0 et (d1):{x=−2t+1y=−tz=4\left(d_{1} \right):\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-2t+1} \\ {y} & {=} & {-t} \\ {z} & {=} & {4} \end{array}\right. où t∈t\in R\mathbb{R}

(P1)\left(P_{1} \right) et (d1)\left(d_{1} \right) sont-ils orthogonaux ?

Correction
    Soient n1→\overrightarrow{n_{1} } un vecteur normal du plan (P1)\left(P_{1} \right) et u1→\overrightarrow{u_{1} } un vecteur directeur de (d1)\left(d_{1} \right).
  • Si n1→\overrightarrow{n_{1} } et u1→\overrightarrow{u_{1} } sont colinéaires alors (P1)\left(P_{1} \right) et (d1)\left(d_{1} \right) sont orthogonaux.
  • Si n1→\overrightarrow{n_{1} } et u1→\overrightarrow{u_{1} } sont ne sont pas colinéaires alors (P1)\left(P_{1} \right) et (d1)\left(d_{1} \right) ne sont pas orthogonaux.
Soient n1→(526)\overrightarrow{n_{1} } \left(\begin{array}{c} {5} \\ {2} \\ {6} \end{array}\right) un vecteur normal du plan (P1)\left(P_{1} \right) et u1→(−2−10)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-1} \\ {0} \end{array}\right) un vecteur directeur de (d1)\left(d_{1} \right).
On vérifie facilement que les deux vecteurs ne sont pas colinéaires (proportionnels), alors (P1)\left(P_{1} \right) et (d1)\left(d_{1} \right) ne sont pas orthogonaux.