Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace
Montrer qu'une droite et un plan sont orthogonaux
Exercice 1
Dans l'espace muni d'un repère (0;i;j;k), on considère le plan (P1) et la droite (d1) admettant pour équations respectives : (P1):x−4y+3z−1=0 et (d1):⎩⎨⎧xyz===−t+1−1t+4 où t∈R
1
(P1) et (d1) sont-ils orthogonaux ?
Correction
Soient n1 un vecteur normal du plan (P1) et u1 un vecteur directeur de (d1).
Si n1 et u1 sont colinéaires alors (P1) et (d1) sont orthogonaux.
Si n1 et u1 sont ne sont pas colinéaires alors (P1) et (d1) ne sont pas orthogonaux.
Soient n1⎝⎛1−43⎠⎞ un vecteur normal du plan (P1) et u1⎝⎛−101⎠⎞ un vecteur directeur de (d1). On vérifie facilement que les deux vecteurs ne sont pas colinéaires (proportionnels), alors (P1) et (d1) ne sont pas orthogonaux.
Exercice 2
Dans l'espace muni d'un repère (0;i;j;k), on considère le plan (P1) et la droite (d1) admettant pour équations respectives : (P1):x−4y+3z−1=0 et (d1):⎩⎨⎧xyz===−t+14t+3−3t où t∈R
1
(P1) et (d1) sont-ils orthogonaux ?
Correction
Soient n1 un vecteur normal du plan (P1) et u1 un vecteur directeur de (d1).
Si n1 et u1 sont colinéaires alors (P1) et (d1) sont orthogonaux.
Si n1 et u1 sont ne sont pas colinéaires alors (P1) et (d1) ne sont pas orthogonaux.
Soient n1⎝⎛1−43⎠⎞ un vecteur normal du plan (P1) et u1⎝⎛−14−3⎠⎞ un vecteur directeur de (d1). On vérifie facilement que les deux vecteurs sont colinéaires car n1=−u1, alors (P1) et (d1) sont orthogonaux.
Exercice 3
Dans l'espace muni d'un repère (0;i;j;k), on considère le plan (P1) et la droite (d1) admettant pour équations respectives : (P1):5x+2y+6z−1=0 et (d1):⎩⎨⎧xyz===−2t+1−t4 où t∈R
1
(P1) et (d1) sont-ils orthogonaux ?
Correction
Soient n1 un vecteur normal du plan (P1) et u1 un vecteur directeur de (d1).
Si n1 et u1 sont colinéaires alors (P1) et (d1) sont orthogonaux.
Si n1 et u1 sont ne sont pas colinéaires alors (P1) et (d1) ne sont pas orthogonaux.
Soient n1⎝⎛526⎠⎞ un vecteur normal du plan (P1) et u1⎝⎛−2−10⎠⎞ un vecteur directeur de (d1). On vérifie facilement que les deux vecteurs ne sont pas colinéaires (proportionnels), alors (P1) et (d1) ne sont pas orthogonaux.
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