Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace

Exercices types : 11ère partie - Exercice 3

5 min
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On considère deux vecteurs de l'espace u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} tels que :
∥u→∥=4\left\| \overrightarrow{u} \right\| =4 ; ∥v→∥=5\left\| \overrightarrow{v} \right\| =5 et ∥u→+v→∥=8\left\| \overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right\| =8
Question 1

Calculer u→⋅v→\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}

Correction
  • Soient deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} alors :
    ∥u→+v→∥2=∥u→∥2+2u→⋅v→+∥v→∥2\left\| \overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right\|^{2} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| ^{2} +2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} +\left\| \overrightarrow{v} \right\| ^{2}
∥u→+v→∥2=∥u→∥2+2u→⋅v→+∥v→∥2\left\| \overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right\|^{2} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| ^{2} +2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} +\left\| \overrightarrow{v} \right\| ^{2} équivaut successivement à :
82=42+2u→⋅v→+528^{2} =4^{2} +2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} +5^{2}
64=16+2u→⋅v→+2564=16+2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} +25
64−16−25=2u→⋅v→64-16-25=2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}
23=2u→⋅v→23=2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}
Il vient alors que :
u→⋅v→=232\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\frac{23}{2}