Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace

Exercices types : 11ère partie - Exercice 2

10 min
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Dans l'espace muni d'un repère (O;i→;j→;k→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right), on considère les points A(2;4;1)A\left(2;4;1\right) , B(−1;2;2)B\left(-1;2;2\right) et C(−1;2;−1)C\left(-1;2;-1\right)
Question 1

Montrer que ces trois points définissent un plan que l'on notera PP .

Correction
  • Si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires alors les points A,BA,B et CC sont alignés donc ils forment une droite.
  • Si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires alors les points A,BA,B et CC ne sont pas alignés donc ils définissent un plan.
    • On a : AB→(−3−21)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {-2} \\ {1} \end{array}\right) et AC→(−3−2−2)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {-2} \\ {-2} \end{array}\right)
    On vérifie facilement que les deux vecteurs ne sont pas colinéaires, alors les points A,BA,B et CC ne sont pas alignés donc ils définissent un plan.
    Question 2

    Déterminer un vecteur normal de PP de la forme n→(a;1;c)\overrightarrow{n}\left(a;1;c\right) où aa et cc sont deux réels.

    Correction
    Un vecteur normal n→(a;1;c)\overrightarrow{n}\left(a;1;c\right) de PP est un vecteur non nul orthogonal à tous les vecteurs non colinéaires de PP et donc en particulier à AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.
    Il en résulte donc que :
  • n→⋅AB→=0⇔−3a−2+c=0\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB} =0\Leftrightarrow -3a-2+c=0
  • n→⋅AC→=0⇔−3a−2−2c=0\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC} =0\Leftrightarrow -3a-2-2c=0
    • On obtient alors le système suivant à résoudre :
    {−3a+c=2−3a−2c=2\left\{\begin{array}{ccc} {-3a+c} & {=} & {2} \\ {-3a-2c} & {=} & {2} \end{array}\right. équivaut successivement à :
    {c=3a+2−3a−2c=2\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {3a+2} \\ {-3a-2c} & {=} & {2} \end{array}\right.
    {c=3a+2−3a−2×(3a+2)=2\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {3a+2} \\ {-3a-2\times \left(3a+2\right)} & {=} & {2} \end{array}\right.
    {c=3a+2−3a−6a−4=2\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {3a+2} \\ {-3a-6a-4} & {=} & {2} \end{array}\right.
    {c=3a+2−3a−6a=2+4\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {3a+2} \\ {-3a-6a} & {=} & {2+4} \end{array}\right.
    {c=3a+2−9a=6\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {3a+2} \\ {-9a} & {=} & {6} \end{array}\right.
    {c=3a+2a=6−9\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {3a+2} \\ {a} & {=} & {\frac{6}{-9} } \end{array}\right.
    {c=3a+2a=−23\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {3a+2} \\ {a} & {=} & {-\frac{2}{3} } \end{array}\right.
    {c=3×(−23)+2a=−23\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {3\times \left(-\frac{2}{3} \right)+2} \\ {a} & {=} & {-\frac{2}{3} } \end{array}\right.
    {c=−2+2a=−23\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {-2+2} \\ {a} & {=} & {-\frac{2}{3} } \end{array}\right.
    {c=0a=−23\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {0} \\ {a} & {=} & {-\frac{2}{3} } \end{array}\right.
    Il en résulte donc qu'un vecteur normal de PP est alors n→(−23;1;0)\overrightarrow{n}\left(-\frac{2}{3} ;1;0\right)