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Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace

Exercices types : 11ère partie - Exercice 1

20 min
40
Dans l'espace muni d'un repère (O;i;j;k)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right), on considère les points M(1;1;34)M\left(1;1;\frac{3}{4}\right) , N(0;12;1)N\left(0;\frac{1}{2};1\right) , P(1;0;54)P\left(1;0;-\frac{5}{4}\right) , Q(47;2435;2335)Q\left(\frac{4}{7};\frac{24}{35};\frac{23}{35}\right) et R(1;0;1)R\left(1;0;1\right)
Question 1

Les points MM, NN et PP définissent-ils un plan ?

Correction
  • Si les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC} sont colinéaires alors les points A,BA,B et CC sont alignés donc ils forment une droite.
  • Si les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires alors les points A,BA,B et CC ne sont pas alignés donc ils définissent un plan.
  • MN(xNxMyNyMzNzM)MN(01121134)MN(11214)\overrightarrow{MN} \left(\begin{array}{c} {x_{N} -x_{M} } \\ {y_{N} -y_{M} } \\ {z_{N} -z_{M} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{MN} \left(\begin{array}{c} {0-1} \\ {\frac{1}{2} -1} \\ {1-\frac{3}{4} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{MN} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-\frac{1}{2} } \\ {\frac{1}{4} } \end{array}\right)
  • MP(xPxMyPyMzPzM)MP(11015434)MP(012)\overrightarrow{MP} \left(\begin{array}{c} {x_{P} -x_{M} } \\ {y_{P} -y_{M} } \\ {z_{P} -z_{M} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{MP} \left(\begin{array}{c} {1-1} \\ {0-1} \\ {-\frac{5}{4} -\frac{3}{4} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{MP} \left(\begin{array}{c} {0} \\ {-1} \\ {-2} \end{array}\right)

  • On vérifie facilement que les deux vecteurs ne sont pas colinéaires, alors les points M,NM,N et PP ne sont pas alignés donc ils définissent un plan.
    Question 2

    Montrer que la droite (QR)\left(QR\right) et le plan (MNP)\left(MNP\right) sont orthogonaux.

    Correction
    Commençons par calculer le vecteur QR\overrightarrow{QR} .
    QR(xRxQyRyQzRzQ)QR(1470243512335)QR(3724351235)\overrightarrow{QR} \left(\begin{array}{c} {x_{R} -x_{Q} } \\ {y_{R} -y_{Q} } \\ {z_{R} -z_{Q} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{QR} \left(\begin{array}{c} {1-\frac{4}{7}} \\ {0-\frac{24}{35} } \\ {1-\frac{23}{35} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{QR} \left(\begin{array}{c} {\frac{3}{7}} \\ {-\frac{24}{35} } \\ {\frac{12}{35} } \end{array}\right)
    D'après la question précédente, nous savons que : MP(012)\overrightarrow{MP} \left(\begin{array}{c} {0} \\ {-1} \\ {-2} \end{array}\right) et MN(11214)\overrightarrow{MN} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-\frac{1}{2} } \\ {\frac{1}{4} } \end{array}\right)
    Calculons MPQR\overrightarrow{MP} \cdot \overrightarrow{QR} et MNQR\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{QR}
    D'une part :
    MPQR=0×371×(2435)2×1235=0\overrightarrow{MP} \cdot \overrightarrow{QR}=0\times\frac{3}{7}-1\times\left(-\frac{24}{35}\right)-2\times\frac{12}{35}=0
    D'autre part :
    MNQR=1×3712×(2435)+14×1235=0\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{QR}=-1\times\frac{3}{7}-\frac{1}{2}\times\left(-\frac{24}{35}\right)+\frac{1}{4}\times\frac{12}{35}=0
    QR\overrightarrow{QR} est orthogonal à deux vecteurs MN\overrightarrow{MN} et MP\overrightarrow{MP} non colinéaires du plan (MNP)\left(MNP\right) .
    Il en résulte donc que la droite (QR)\left(QR\right) et le plan (MNP)\left(MNP\right) sont bien orthogonaux.
    Question 3

    Démontrer que les vecteurs MQ\overrightarrow{MQ} ; MN\overrightarrow{MN} et MP\overrightarrow{MP} sont coplanaires.

    Correction
    Commençons par calculer le vecteur MQ\overrightarrow{MQ} .
    MQ(xQxMyQyMzQzM)MQ(47124351233534)MQ(37113513140)\overrightarrow{MQ} \left(\begin{array}{c} {x_{Q} -x_{M} } \\ {y_{Q} -y_{M} } \\ {z_{Q} -z_{M} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{MQ} \left(\begin{array}{c} {\frac{4}{7} -1} \\ {\frac{24}{35} -1} \\ {\frac{23}{35} -\frac{3}{4} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{MQ} \left(\begin{array}{c} {-\frac{3}{7} } \\ {-\frac{11}{35} } \\ {-\frac{13}{140} } \end{array}\right)
    Les vecteurs u\overrightarrow{u} ; v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w} sont coplanaires s'il existe deux réels xx et yy tels que : u=xv+yw\overrightarrow{u} =x\overrightarrow{v} +y\overrightarrow{w}
    Soient deux réels xx et yy, il vient alors que :
    MQ=xMN+yMP\overrightarrow{MQ} =x\overrightarrow{MN} +y\overrightarrow{MP}
    (37113513140)=x(11214)+y(012)\left(\begin{array}{c} {-\frac{3}{7} } \\ {-\frac{11}{35} } \\ {-\frac{13}{140} } \end{array}\right)=x\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-\frac{1}{2} } \\ {\frac{1}{4} } \end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c} {0} \\ {-1} \\ {-2} \end{array}\right)
    (37113513140)=(x12x14x)+(0y2y)\left(\begin{array}{c} {-\frac{3}{7} } \\ {-\frac{11}{35} } \\ {-\frac{13}{140} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {-x} \\ {-\frac{1}{2} x} \\ {\frac{1}{4} x} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {0} \\ {-y} \\ {-2y} \end{array}\right)
    (37113513140)=(x12xy14x2y)\left(\begin{array}{c} {-\frac{3}{7} } \\ {-\frac{11}{35} } \\ {-\frac{13}{140} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {-x} \\ {-\frac{1}{2} x-y} \\ {\frac{1}{4} x-2y} \end{array}\right)
    {x=3712xy=113514x2y=13140\left\{\begin{array}{ccc} {-x} & {=} & {-\frac{3}{7} } \\ {-\frac{1}{2} x-y} & {=} & {-\frac{11}{35} } \\ {\frac{1}{4} x-2y} & {=} & {-\frac{13}{140} } \end{array}\right.
    {x=3712xy=113514x2y=13140\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{3}{7} } \\ {-\frac{1}{2} x-y} & {=} & {-\frac{11}{35} } \\ {\frac{1}{4} x-2y} & {=} & {-\frac{13}{140} } \end{array}\right.
    {x=3712×37y=113514×372y=13140\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{3}{7} } \\ {-\frac{1}{2} \times \frac{3}{7} -y} & {=} & {-\frac{11}{35} } \\ {\frac{1}{4} \times \frac{3}{7} -2y} & {=} & {-\frac{13}{140} } \end{array}\right.
    {x=37314y=11353282y=13140\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{3}{7} } \\ {-\frac{3}{14} -y} & {=} & {-\frac{11}{35} } \\ {\frac{3}{28} -2y} & {=} & {-\frac{13}{140} } \end{array}\right.
    {x=37y=1135+3142y=13140328\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{3}{7} } \\ {-y} & {=} & {-\frac{11}{35} +\frac{3}{14} } \\ {-2y} & {=} & {-\frac{13}{140} -\frac{3}{28} } \end{array}\right.
    {x=37y=1102y=15\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{3}{7} } \\ {-y} & {=} & {-\frac{1}{10} } \\ {-2y} & {=} & {-\frac{1}{5} } \end{array}\right.
    {x=37y=110y=15÷(2)\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{3}{7} } \\ {y} & {=} & {\frac{1}{10} } \\ {y} & {=} & {-\frac{1}{5} \div \left(-2\right)} \end{array}\right.
    {x=37y=110y=15×1(2)\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{3}{7} } \\ {y} & {=} & {\frac{1}{10} } \\ {y} & {=} & {-\frac{1}{5} \times \frac{1}{\left(-2\right)} } \end{array}\right.
    {x=37y=110y=110\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{3}{7} } \\ {y} & {=} & {\frac{1}{10} } \\ {y} & {=} & {\frac{1}{10} } \end{array}\right.
    Il en résulte donc que
    MQ=37MN+110MP\overrightarrow{MQ} =\frac{3}{7}\overrightarrow{MN} +\frac{1}{10}\overrightarrow{MP}

    Les vecteurs MQ\overrightarrow{MQ} ; MN\overrightarrow{MN} et MP\overrightarrow{MP} sont bien coplanaires.
    Question 4

    Que peut-on en déduire pour le point QQ ?

    Correction
    D'après la question précédente, nous avons montré que les vecteurs MQ\overrightarrow{MQ} ; MN\overrightarrow{MN} et MP\overrightarrow{MP} sont coplanaires.
    Autrement dit, les points MM , QQ , NN et PP appartiennent tous à un même plan.
    Il en résulte donc que le point QQ appartient au plan (MNP)\left(MNP\right)
    Question 5

    Quel est le projeté orthogonal du point RR sur le plan (MNP)\left(MNP\right) ?

    Correction
    D'après la question 22, nous avons montré que la droite (QR)\left(QR\right) et le plan (MNP)\left(MNP\right) sont orthogonaux.
    De plus, d'après la question 44, le point QQ appartient au plan (MNP)\left(MNP\right).
    Il en résulte donc que le projeté orthogonal du point RR sur le plan (MNP)\left(MNP\right) n'est autre que le point QQ .
    Question 6

    En déduire la distance du point RR au plan (MNP)\left(MNP\right) .

    Correction
    La distance d'un point AA à un plan (P)\left(P\right) est la plus courte distance séparant ce point et un point du plan.
    Cette distance, la plus courte, du point AA au plan (P)\left(P\right) correspond à la distance séparant AA de son projeté orthogonal HH sur le plan (P)\left(P\right).
    La distance du point RR au plan (MNP)\left(MNP\right) correspond donc à la distance QRQR .
    Soient A(xA;yA;zA)A\left(x_{A} ;y_{A} ;z_{A} \right) et B(xB;yB;zB)B\left(x_{B} ;y_{B} ;z_{B} \right) deux points de l'espace.
    La distance ABAB se calcule comme suit :
    AB=(xBxA)2+(yByA)2+(zBzA)2AB=\sqrt{\left(x_{B} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{B} -y_{A} \right)^{2} +\left(z_{B} -z_{A} \right)^{2} }
    Nous savons que Q(47;2435;2335)Q\left(\frac{4}{7};\frac{24}{35};\frac{23}{35}\right) et R(1;0;1)R\left(1;0;1\right) .
    Ainsi :
    QR=(xRxQ)2+(yRyQ)2+(zRzQ)2QR=\sqrt{\left(x_{R} -x_{Q} \right)^{2} +\left(y_{R} -y_{Q} \right)^{2} +\left(z_{R} -z_{Q} \right)^{2} }
    QR=(147)2+(02435)2+(12335)2QR=\sqrt{\left(1-\frac{4}{7} \right)^{2} +\left(0-\frac{24}{35} \right)^{2} +\left(1-\frac{23}{35} \right)^{2} }
    Finalement :
    QR=2735QR=\sqrt{\frac{27}{35} }