On vérifie facilement que les deux vecteurs ne sont pas colinéaires, alors les points M,N et P ne sont pas alignés donc ils définissent un plan.
Question 2
Montrer que la droite (QR) et le plan (MNP) sont orthogonaux.
Correction
Commençons par calculer le vecteur QR . QR⎝⎛xR−xQyR−yQzR−zQ⎠⎞⇔QR⎝⎛1−740−35241−3523⎠⎞⇔QR⎝⎛73−35243512⎠⎞ D'après la question précédente, nous savons que : MP⎝⎛0−1−2⎠⎞ et MN⎝⎛−1−2141⎠⎞ Calculons MP⋅QR et MN⋅QR D'une part : MP⋅QR=0×73−1×(−3524)−2×3512=0 D'autre part : MN⋅QR=−1×73−21×(−3524)+41×3512=0 QR est orthogonal à deux vecteurs MN et MP non colinéaires du plan (MNP) . Il en résulte donc que la droite (QR) et le plan (MNP) sont bien orthogonaux.
Question 3
Démontrer que les vecteurs MQ ; MN et MP sont coplanaires.
Correction
Commençons par calculer le vecteur MQ . MQ⎝⎛xQ−xMyQ−yMzQ−zM⎠⎞⇔MQ⎝⎛74−13524−13523−43⎠⎞⇔MQ⎝⎛−73−3511−14013⎠⎞
Les vecteurs u ; v et w sont coplanaires s'il existe deux réels x et y tels que : u=xv+yw
Soient deux réels x et y, il vient alors que : MQ=xMN+yMP ⎝⎛−73−3511−14013⎠⎞=x⎝⎛−1−2141⎠⎞+y⎝⎛0−1−2⎠⎞ ⎝⎛−73−3511−14013⎠⎞=⎝⎛−x−21x41x⎠⎞+⎝⎛0−y−2y⎠⎞ ⎝⎛−73−3511−14013⎠⎞=⎝⎛−x−21x−y41x−2y⎠⎞ ⎩⎨⎧−x−21x−y41x−2y===−73−3511−14013 ⎩⎨⎧x−21x−y41x−2y===73−3511−14013 ⎩⎨⎧x−21×73−y41×73−2y===73−3511−14013 ⎩⎨⎧x−143−y283−2y===73−3511−14013 ⎩⎨⎧x−y−2y===73−3511+143−14013−283 ⎩⎨⎧x−y−2y===73−101−51 ⎩⎨⎧xyy===73101−51÷(−2) ⎩⎨⎧xyy===73101−51×(−2)1 ⎩⎨⎧xyy===73101101 Il en résulte donc que
MQ=73MN+101MP
Les vecteurs MQ ; MN et MP sont bien coplanaires.
Question 4
Que peut-on en déduire pour le point Q ?
Correction
D'après la question précédente, nous avons montré que les vecteurs MQ ; MN et MP sont coplanaires. Autrement dit, les points M , Q , N et P appartiennent tous à un même plan. Il en résulte donc que le point Q appartient au plan (MNP)
Question 5
Quel est le projeté orthogonal du point R sur le plan (MNP) ?
Correction
D'après la question 2, nous avons montré que la droite (QR) et le plan (MNP) sont orthogonaux. De plus, d'après la question 4, le point Q appartient au plan (MNP). Il en résulte donc que le projeté orthogonal du point R sur le plan (MNP) n'est autre que le point Q .
Question 6
En déduire la distance du point R au plan (MNP) .
Correction
La distance d'un point A à un plan (P) est la plus courte distance séparant ce point et un point du plan. Cette distance, la plus courte, du point A au plan (P) correspond à la distance séparant A de son projeté orthogonal H sur le plan (P).
La distance du point R au plan (MNP) correspond donc à la distance QR .
Soient A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB) deux points de l'espace. La distance AB se calcule comme suit : AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2
Nous savons que Q(74;3524;3523) et R(1;0;1) . Ainsi : QR=(xR−xQ)2+(yR−yQ)2+(zR−zQ)2 QR=(1−74)2+(0−3524)2+(1−3523)2 Finalement :
QR=3527
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