Epreuve d'enseignement de spécialité Métropole 13 Septembre 2021 J1 Exercice A : Géométrie dans l'espace - Exercice 1

$$A$$ est l'origine du repère ainsi $$A\left(0;0;0\right)$$
$$\text{\red{Déterminons les coordonnées du point}}$$ $$\red{I}$$ .
$$\overrightarrow{EI} =\frac{1}{4} \overrightarrow{EF}$$
$$\overrightarrow{EA} +\overrightarrow{AI} =\frac{1}{4} \overrightarrow{EF}$$
$$\overrightarrow{AI} =\frac{1}{4} \overrightarrow{EF} -\overrightarrow{EA}$$
$$\overrightarrow{AI} =\frac{1}{4} \overrightarrow{EF} +\overrightarrow{AE}$$
$$\overrightarrow{AI} =\frac{1}{4} \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AE}$$
Ainsi :

$$\overrightarrow{AI} =\red{\frac{1}{4}}\overrightarrow{AB} +\blue{0}\overrightarrow{AD} +\purple{1}\overrightarrow{AE}$$ donc les coordonnées de $$I$$ sont $$\left(\red{\frac{1}{4}};\blue{0};\purple{1}\right)$$

$$\text{\red{Déterminons les coordonnées du point}}$$ $$\red{J}$$ .
$$\overrightarrow{EJ} =\frac{1}{4} \overrightarrow{EH}$$
$$\overrightarrow{EA} +\overrightarrow{AJ} =\frac{1}{4} \overrightarrow{EH}$$
$$\overrightarrow{AJ} =\frac{1}{4} \overrightarrow{EH} -\overrightarrow{EA}$$
$$\overrightarrow{AJ} =\frac{1}{4} \overrightarrow{EH} +\overrightarrow{AE}$$
$$\overrightarrow{AJ} =\frac{1}{4} \overrightarrow{AD} +\overrightarrow{AE}$$
Ainsi :

$$\overrightarrow{AJ} =\red{0}\overrightarrow{AB} +\blue{\frac{1}{4}}\overrightarrow{AD} +\purple{1}\overrightarrow{AE}$$ donc les coordonnées de $$J$$ sont $$\left(\red{0};\blue{\frac{1}{4}};\purple{1}\right)$$

$$\text{\red{Déterminons les coordonnées du point}}$$ $$\red{K}$$ .
$$\overrightarrow{BK} =\frac{1}{4} \overrightarrow{BF}$$
$$\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{AK} =\frac{1}{4} \overrightarrow{BF}$$
$$\overrightarrow{AK} =\frac{1}{4} \overrightarrow{BF} -\overrightarrow{BA}$$
$$\overrightarrow{AK} =\frac{1}{4} \overrightarrow{BF} +\overrightarrow{AB}$$
$$\overrightarrow{AK} =\overrightarrow{AB} +\frac{1}{4} \overrightarrow{BF}$$
$$\overrightarrow{AK} =\overrightarrow{AB} +\frac{1}{4} \overrightarrow{AE}$$
Ainsi :

$$\overrightarrow{AK} =\red{1}\overrightarrow{AB} +\blue{0}\overrightarrow{AD} +\purple{\frac{1}{4}}\overrightarrow{AE}$$ donc les coordonnées de $$K$$ sont $$\left(\red{1};\blue{0};\purple{\frac{1}{4}}\right)$$

Nous allons commencer par calculer les vecteurs $$\overrightarrow{IJ}$$ et $$\overrightarrow{IK}$$.
$$\overrightarrow{IJ} \left(\begin{array}{c} {x_{J} -x_{I} } \\ {y_{J} -y_{I} } \\ {z_{J} -z_{I} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{IJ} \left(\begin{array}{c} {0-\frac{1}{4}} \\ {\frac{1}{4}-0} \\ {1-1} \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{IJ} \left(\begin{array}{c} {-\frac{1}{4}} \\ {\frac{1}{4}} \\ {0} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{IK} \left(\begin{array}{c} {x_{K} -x_{I} } \\ {y_{K} -y_{I} } \\ {z_{K} -z_{I} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{IK} \left(\begin{array}{c} {1-\frac{1}{4}} \\ {0-0} \\ {\frac{1}{4}-1} \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{IK} \left(\begin{array}{c} {\frac{3}{4}} \\ {0} \\ {-\frac{3}{4}} \end{array}\right)$$
Les vecteurs $$\overrightarrow{IJ}$$ et $$\overrightarrow{IK}$$ sont deux vecteurs non colinéaires du plan $$\left(IJK\right)$$.
De plus , nous allons calculer le vecteur $$\overrightarrow{AG}$$ .On lit facilement, sur le cube, les coordonnées des points $$A$$ et $$G$$ qui sont $$A\left(0;0;0\right)$$ et $$G\left(1;1;1\right)$$.
Ce qui nous donne :
$$\overrightarrow{AG} \left(\begin{array}{c} {x_{G} -x_{A} } \\ {y_{G} -y_{A} } \\ {z_{G} -z_{A} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AG} \left(\begin{array}{c} {1-0} \\ {1-0} \\ {1-0} \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AG} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right)$$
Finalement :
$$\overrightarrow{IJ} \cdot \overrightarrow{AG} =\left(-\frac{1}{4}\right)\times 1+\frac{1}{4}\times 1+0\times 1=0$$
$$\overrightarrow{IK} \cdot \overrightarrow{AG} =\frac{3}{4}\times 1+0\times 1+\left(-\frac{3}{4}\right)\times 1=0$$
Il en résulte donc que le vecteur $$\overrightarrow{AG}$$ est bien orthogonal aux vecteurs non colinéaires $$\overrightarrow{IJ}$$ et $$\overrightarrow{IK}$$.
On peut alors conclure le vecteur $$\overrightarrow{AG}$$ est normal au plan $$\left(IJK\right)$$.

D'après la question précédente, le vecteur $$\overrightarrow{AG} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right)$$ est normal au plan $$\left(IJK\right)$$.
Le plan $$\left(IJK\right)$$ s'écrit $$x+y+z+d=0$$.
Or : $$I\left(\frac{1}{4};0;1\right)$$ appartient au plan donc $$x_{A}+y_{A}+z_{A}+d=0$$
Ainsi : $$\frac{1}{4}+0+1\times 0+d=0$$, d'où $$d=-\frac{5}{4}$$
On en conclut que l'équation cartésienne du plan $$\left(IJK\right)$$ recherché est :
Nous pouvons multiplier tous les coefficients de l'équation cartésienne $$\left(IJK\right)$$ $$: x+y+z-\frac{5}{4}=0$$ par $$4$$ .
Il en résulte donc qu’une équation cartésienne du plan $$\left(IJK\right)$$ est bien :

Les coordonnés des points $$B$$ et $$C$$ sont respectivement $$B\left(1;0;0\right)$$ et $$C\left(1;1;0\right)$$.
On commence par calculer le vecteur $$\overrightarrow{BC}$$
$$\overrightarrow{BC} \left(\begin{array}{c} {x_{C} -x_{B} } \\ {y_{C} -y_{B} } \\ {z_{C} -z_{B} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{BC} \left(\begin{array}{c} {1-1} \\ {1-0} \\ {0-0} \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{BC} \left(\begin{array}{c} {0} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right)$$
Soit le point $$M\left(x;y;z\right)$$ appartenant à la droite $$\left(BC\right)$$ .
Cela donne :
$$\overrightarrow{BC}=\left(\begin{array}{c} {0} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right)$$ puis $$\overrightarrow{BM}=\left(\begin{array}{c} {x-1} \\ {y} \\ {z} \end{array}\right)$$
Les points $$B$$, $$C$$ et $$M$$ sont alignés, donc les vecteurs $$\overrightarrow{BC}$$ et $$\overrightarrow{BM}$$ sont colinéaires.
Cela se traduit par :
$$\overrightarrow{BM}=t\overrightarrow{BC}$$, ce qui donne $$\left\{\begin{array}{ccc} {x-1} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {t} \\ {z} & {=} & {0} \end{array}\right.$$ où $$t\in \mathbb{R}$$
Finalement l'équation paramétrique de $$\left(BC\right)$$ est :

D'après les question précédentes, nous savons que :
L'équation paramétrique de la droite $$\left(BC\right)$$ est : $$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {1} \\ {y} & {=} & {t} \\ {z} & {=} & {0} \end{array}\right.$$ où $$t\in \mathbb{R}$$
L'équation cartésienne du plan $$\left(IJK\right)$$ est : $$4x +4y +4z -5 = 0$$
Les coordonnées du point $$L$$, point d’intersection de la droite $$\left(BC\right)$$ avec le plan $$\left(IJK\right)$$ doivent vérifier le système suivant :
$$\left\{\begin{array}{c} {4x+4y+4z-5=0} \\ {x=1} \\ {y=t} \\ {z=0} \end{array}\right.$$
On remplace la valeur de $$x,y$$ et $$z$$ dans le plan $$\left(IJK \right)$$
$$\left\{\begin{array}{c} {4\times 1+4\times t+4\times 0-5=0} \\ {x=1} \\ {y=t} \\ {z=0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{c} {4+4t-5=0} \\ {x=1} \\ {y=t} \\ {z=0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{c} {4t-1=0} \\ {x=1} \\ {y=t} \\ {z=0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{c} {t=\frac{1}{4} } \\ {x=1} \\ {y=t} \\ {z=0} \end{array}\right.$$
Maintenant que nous avons la valeur de $$t$$, on peut obtenir les valeurs de $$x,y$$ et $$z$$
$$\left\{\begin{array}{c} {t=\frac{1}{4} } \\ {x=1} \\ {y=\frac{1}{4} } \\ {z=0} \end{array}\right.$$
Les coordonnées du point $$L$$, point d’intersection de la droite $$\left(BC\right)$$ avec le plan $$\left(IJK\right)$$ sont alors $$L\left(1;\frac{1}{4};0\right)$$

D'après la question $$5$$, on a montré que le point $$L\left(1;\frac{1}{4};0\right)$$ appartient au plan $$\left(IJK\right)$$. Cela signifie que les points $$I,J,K$$ et $$L$$ sont coplanaires.
Vérifions maintenant si le point $$M\left(\frac{1}{4} ;1;0\right)$$ appartient également au plan $$\left(IJK\right)$$ : $$4x +4y +4z -5 = 0$$
Il vient alors que :
$$4x_{M} +4y_{M} +4z_{M} -5=4\times\frac{1}{4} +4\times1 +4\times0 -5$$
$$4x_{M} +4y_{M} +4z_{M} -5=1 +4 +0 -5$$

Le point $$M\left(\frac{1}{4} ;1;0\right)$$ appartient également au plan $$\left(IJK\right)$$.
Il en résulte donc que les points $$M$$ et $$L$$ appartiennent bien au plan $$\left(IJK\right)$$.
On peut alors conclure que les points $$I$$, $$J$$, $$L$$ , $$K$$ et $$M$$ sont alors coplanaires car ils sont tous dans le même plan.
Finalement, les points $$I$$, $$J$$, $$L$$ et $$M$$ sont alors coplanaires.