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Déterminer une équation cartésienne d'un plan - Exercice 4

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Dans l’espace muni d’un repère orthonormé (O;i→;j→;k→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right), on considère les points A(2;1;3)A\left(2;1;3\right) , B(−3;−1;7)B\left(-3;-1;7\right) et C(3;2;4)C\left(3;2;4\right) .
Question 1

Montrer que les points AA, BB et CC ne sont pas alignés. Que peut-on en déduire ?

Correction
  • Si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires alors les points A,BA,B et CC sont alignés donc ils forment une droite.
  • Si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires alors les points A,BA,B et CC ne sont pas alignés donc ils définissent un plan.
    • On a AB→(−5−24)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-5} \\ {-2} \\ {4} \end{array}\right) et AC→(111)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right)
    On vérifie facilement que les deux vecteurs ne sont pas colinéaires, alors les points A,BA,B et CC ne sont pas alignés donc ils forment un plan.
    Question 2
    Soit (d)\left(d\right) la droite de représentation paramétrique : {x=−7+2ty=−3tz=4+t\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-7+2t} \\ {y} & {=} & {-3t} \\ {z} & {=} & {4+t} \end{array}\right. où t∈Rt\in \mathbb{R}

    Montrer que la droite (d)\left(d\right) est orthogonale au plan (ABC)\left(ABC\right) .

    Correction
      Soit une droite (Δ)\left(\Delta\right) définie par un point A(xA;yA;zA)A\left(x_{A};y_{A};z_{A}\right) et un vecteur directeur u→(a;b;c)\overrightarrow{u}\left(a;b;c\right). La droite (Δ)\left(\Delta\right) admet donc un système d’équations paramétriques, appelé représentation paramétrique, de la forme : {x=xA+aty=yA+btz=zA+ct\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {x_{A}+at} \\ {y} & {=} & {y_{A}+bt} \\ {z} & {=} & {z_{A}+ct} \end{array}\right. où t∈Rt\in \mathbb{R}
    Soit u→(2−31)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \\ {1} \end{array}\right) un vecteur directeur de la droite (d)\left(d\right) . On rappelle que AB→(−5−24)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-5} \\ {-2} \\ {4} \end{array}\right) et AC→(111)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right)
  • u→⋅AB→=2×(−5)+(−3)×(−2)+1×4=0\overrightarrow{u } \cdot \overrightarrow{AB } =2\times \left(-5 \right)+\left(-3\right)\times \left(-2 \right)+1\times 4=0
  • u→⋅AC→=2×1+(−3)×1+1×1=0\overrightarrow{u } \cdot \overrightarrow{AC } =2\times1+\left(-3\right)\times 1+1\times 1=0
    • u→\overrightarrow{u} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC)\left(ABC\right) donc la droite (d)\left(d\right) est orthogonale à deux droites sécantes de (ABC)\left(ABC\right). Autrement dit, la droite (d)\left(d\right) est bien orthogonale au plan (ABC)\left(ABC\right) .
    Question 3

    Donner une équation cartésienne du plan (ABC)\left(ABC\right) .

    Correction
    Nous savons que la la droite (d)\left(d\right) est orthogonale au plan (ABC)\left(ABC\right) . Cela signifie donc qu'un vecteur directeur de la droite (d)\left(d\right) est colinéaire à un vecteur normal du plan (ABC)\left(ABC\right) .
    D'après la question précédente, u→(2−31)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \\ {1} \end{array}\right) est un vecteur directeur de la droite (d)\left(d\right).
    Il en résulte donc que n→(2−31)\overrightarrow{n} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \\ {1} \end{array}\right) est un vecteur normal au plan (ABC)\left(ABC\right) .
    L'écriture cartésienne d'un plan ayant un vecteur normal n→(a;b;c)\overrightarrow{n} \left(a;b;c\right) s'écrit ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 .
    Ensuite pour déterminer la valeur de dd, on utilise les coordonnées du point AA.
    Ici le plan s'écrit 2x−3y+z+d=02x-3y+z+d=0 .
    Or : A(2;1;3)A\left(2;1;3\right) appartient au plan donc 2xA−3yA+zA+d=02x_{A}-3y_{A}+z_{A}+d=0
    Ainsi : 2×2−3×1+3+d=02\times 2-3\times 1+3+d=0, ce qui donne : d+4=0d+4=0 d'où d=−4d=-4
    On en conclut que l'équation cartésienne du plan recherché est :
    2x−3y+z−4=02x-3y+z-4=0

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