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Déterminer une équation cartésienne d'un plan - Exercice 2

15 min
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Dans l’espace muni d’un repère orthonormé (O;i→;j→;k→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right)
Déterminer, pour chaque cas, une équation cartésienne du plan PP passant par le point AA et de vecteur normal n→\overrightarrow{n} .
Question 1

A(1;2;3)A\left(1;2;3\right) et n→(1;0;−2)\overrightarrow{n} \left(1;0;-2\right)

Correction
L'écriture cartésienne d'un plan ayant un vecteur normal n→(a;b;c)\overrightarrow{n} \left(a;b;c\right) s'écrit ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 .
Ensuite pour déterminer la valeur de dd, on utilise les coordonnées du point AA.
Ici le plan s'écrit 1x+0y−2z+d=01x+0y-2z+d=0, c'est à dire 1x−2z+d=01x-2z+d=0
Or : A(1;2;3)A\left(1;2;3\right) appartient au plan donc 1xA−2zA+d=01x_{A} -2z_{A} +d=0
Ainsi : 1×1−2×3+d=01\times 1-2\times 3+d=0, d'où d=5d=5
On en conclut que l'équation cartésienne du plan recherché est :
1x−2z+5=01x-2z+5=0
Question 2

A(−1;0;3)A\left(-1;0;3\right) et n→(2;−4;1)\overrightarrow{n} \left(2;-4;1\right)

Correction
L'écriture cartésienne d'un plan ayant un vecteur normal n→(a;b;c)\overrightarrow{n} \left(a;b;c\right) s'écrit ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 .
Ensuite pour déterminer la valeur de dd, on utilise les coordonnées du point AA.
Ici le plan s'écrit 2x−4y+z+d=02x-4y+z+d=0
Or A(−1;0;3)A\left(-1;0;3\right) appartient au plan donc 2xA−4yA+zA+d=02x_{A} -4y_{A} +z_{A} +d=0
Ainsi : 2×(−1)−4×0+3+d=02\times \left(-1\right)-4\times 0+3+d=0, d'où d=−1d=-1
On en conclut que l'équation cartésienne du plan recherché est :
2x−4y+z−1=02x-4y+z-1=0
Question 3

A(1;1;4)A\left(1;1;4\right) et n→(−2;5;8)\overrightarrow{n} \left(-2;5;8\right)

Correction
L'écriture cartésienne d'un plan ayant un vecteur normal n→(a;b;c)\overrightarrow{n} \left(a;b;c\right) s'écrit ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 .
Ensuite pour déterminer la valeur de dd, on utilise les coordonnées du point AA.
Ici le plan s'écrit −2x+5y+8z+d=0-2x+5y+8z+d=0
Or A(1;1;4)A\left(1;1;4\right) appartient au plan donc −2xA+5yA+8zA+d=0-2x_{A} +5y_{A} +8z_{A} +d=0
Ainsi : −2×1+5×1+8×4+d=0-2\times 1+5\times 1+8\times 4+d=0, d'où d=−35d=-35
On en conclut que l'équation cartésienne du plan recherché est :
−2x+5y+8z−35=0-2x+5y+8z-35=0
Question 4

A(2;1;−1)A\left(2;1;-1\right) et n→(1;3;2)\overrightarrow{n} \left(1;3;2\right)

Correction
L'écriture cartésienne d'un plan ayant un vecteur normal n→(a;b;c)\overrightarrow{n} \left(a;b;c\right) s'écrit ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 .
Ensuite pour déterminer la valeur de dd, on utilise les coordonnées du point AA.
Ici le plan s'écrit x+3y+2z+d=0x+3y+2z+d=0
Or A(2;1;−1)A\left(2;1;-1\right) appartient au plan donc xA+3yA+2zA+d=0x_{A} +3y_{A} +2z_{A} +d=0
Ainsi : 2+3×1+2×(−1)+d=02+3\times 1+2\times \left(-1\right)+d=0, d'où d=−3d=-3
On en conclut que l'équation cartésienne du plan recherché est :
x+3y+2z−3=0x+3y+2z-3=0
Question 5

A(−2;3;5)A\left(-2;3;5\right) et n→(1;−2;4)\overrightarrow{n} \left(1;-2;4\right)

Correction
L'écriture cartésienne d'un plan ayant un vecteur normal n→(a;b;c)\overrightarrow{n} \left(a;b;c\right) s'écrit ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 .
Ensuite pour déterminer la valeur de dd, on utilise les coordonnées du point AA.
Ici le plan s'écrit x−2y+4z+d=0x-2y+4z+d=0
Or A(−2;3;5)A\left(-2;3;5\right) appartient au plan donc xA−2yA+4zA+d=0x_{A} -2y_{A} +4z_{A} +d=0
Ainsi : −2−2×3+4×5+d=0-2-2\times 3+4\times 5+d=0, d'où d=−12d=-12
On en conclut que l'équation cartésienne du plan recherché est :
x−2y+4z−12=0x-2y+4z-12=0

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