Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace

Déterminer une équation cartésienne d'un plan

Exercice 1

On donne les points A(1;2;3)A\left(1;2;-3\right), B(2;3;2)B\left(2;3;-2\right) et C(1;0;5)C\left(-1;0;-5\right)
1

Les points AA, BB et CC définissent-ils un plan ?

Correction
On donne les points A(2;3;1)A\left(2;3;1\right), B(3;0;1)B\left(3;0;-1\right) et C(1;2;1)C\left(1;2;-1\right)
2

Les points AA, BB et CC définissent-ils un plan ?

Correction
On donne les points A(3;3;5)A\left(-3;-3;-5\right), B(2;3;3)B\left(-2;-3;-3\right) et C(1;2;1)C\left(1;2;-1\right)
3

Les points AA, BB et CC définissent-ils un plan ?

Correction

Exercice 2

Déterminer, pour chaque cas, une équation cartésienne du plan PP passant par le point AA et de vecteur normal n\overrightarrow{n} .
1

A(1;2;3)A\left(1;2;3\right) et n(1;0;2)\overrightarrow{n} \left(1;0;-2\right)

Correction
2

A(1;0;3)A\left(-1;0;3\right) et n(2;4;1)\overrightarrow{n} \left(2;-4;1\right)

Correction
3

A(1;1;4)A\left(1;1;4\right) et n(2;5;8)\overrightarrow{n} \left(-2;5;8\right)

Correction
4

A(2;1;1)A\left(2;1;-1\right) et n(1;3;2)\overrightarrow{n} \left(1;3;2\right)

Correction
5

A(2;3;5)A\left(-2;3;5\right) et n(1;2;4)\overrightarrow{n} \left(1;-2;4\right)

Correction

Exercice 3

On donne les points A(1;7;1)A\left(1;7;1\right), B(0;2;2)B\left(0;2;-2\right), C(2;0;8)C\left(2;0;-8\right), D(1;1;2)D\left(-1;1;2\right) et E(1;0;3)E\left(1;0;3\right)
1

Démontrer que les points A,BA,B et CC définissent un plan noté (P)\left(P\right) de vecteur normal DE\overrightarrow{DE} .

Correction
2

En déduire une équation cartésienne du plan (P)\left(P\right)

Correction

Exercice 4

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé (0;i;j;k)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right), on considère les points A(2;1;3)A\left(2;1;3\right) , B(3;1;7)B\left(-3;-1;7\right) et C(3;2;4)C\left(3;2;4\right) .
1

Montrer que les points AA, BB et CC ne sont pas alignés. Que peut-on en déduire ?

Correction
Soit (d)\left(d\right) la droite de représentation paramétrique : {x=7+2ty=3tz=4+t\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-7+2t} \\ {y} & {=} & {-3t} \\ {z} & {=} & {4+t} \end{array}\right. tRt\in \mathbb{R}
2

Montrer que la droite (d)\left(d\right) est orthogonale au plan (ABC)\left(ABC\right) .

Correction
3

Donner une équation cartésienne du plan (ABC)\left(ABC\right) .

Correction
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