Déterminer une équation cartésienne d'un plan

On a : $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-2} \\ {-2} \end{array}\right)$
On vérifie facilement que les deux vecteurs sont colinéaires car $\overrightarrow{AC} =-2\overrightarrow{AB}$
Les points $A,B$ et $C$ sont donc alignés et ils forment une droite et par conséquent ces $3$ points ne définissent pas un plan.

On a : $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-3} \\ {-2} \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-1} \\ {-2} \end{array}\right)$
On vérifie facilement que les deux vecteurs ne sont pas colinéaires, alors les points $A,B$ et $C$ ne sont pas alignés donc ils définissent un plan.

On a : $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {2} \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {5} \\ {4} \end{array}\right)$
On vérifie facilement que les deux vecteurs ne sont pas colinéaires, alors les points $A,B$ et $C$ ne sont pas alignés donc ils définissent un plan.

Ici le plan s'écrit $1x+0y-2z+d=0$, c'est à dire $1x-2z+d=0$
Or : $A\left(1;2;3\right)$ appartient au plan donc $1x_{A} -2z_{A} +d=0$
Ainsi : $1\times 1-2\times 3+d=0$, d'où $d=5$
On en conclut que l'équation cartésienne du plan recherché est :

Ici le plan s'écrit $2x-4y+z+d=0$
Or $A\left(-1;0;3\right)$ appartient au plan donc $2x_{A} -4y_{A} +z_{A} +d=0$
Ainsi : $2\times \left(-1\right)-4\times 0+3+d=0$, d'où $d=-1$
On en conclut que l'équation cartésienne du plan recherché est :

Ici le plan s'écrit $-2x+5y+8z+d=0$
Or $A\left(1;1;4\right)$ appartient au plan donc $-2x_{A} +5y_{A} +8z_{A} +d=0$
Ainsi : $-2\times 1+5\times 1+8\times 4+d=0$, d'où $d=-35$
On en conclut que l'équation cartésienne du plan recherché est :

Ici le plan s'écrit $x+3y+2z+d=0$
Or $A\left(2;1;-1\right)$ appartient au plan donc $x_{A} +3y_{A} +2z_{A} +d=0$
Ainsi : $2+3\times 1+2\times \left(-1\right)+d=0$, d'où $d=-3$
On en conclut que l'équation cartésienne du plan recherché est :

Ici le plan s'écrit $x-2y+4z+d=0$
Or $A\left(-2;3;5\right)$ appartient au plan donc $x_{A} -2y_{A} +4z_{A} +d=0$
Ainsi : $-2-2\times 3+4\times 5+d=0$, d'où $d=-12$
On en conclut que l'équation cartésienne du plan recherché est :

$\red{\text{ Etape 1 :}}$
On commence par calculer les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ :
$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-5} \\ {-3} \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-7} \\ {-9} \end{array}\right)$
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires donc les points $A,B$ et $C$ définissent bien un plan.
$\red{\text{ Etape 2 :}}$
Calculons le vecteur $\overrightarrow{DE}$ et si $\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{DE} =0$ et $\overrightarrow{AC} \cdot\overrightarrow{DE} =0$ alors le vecteur $\overrightarrow{DE}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $\left(ABC\right)$. Dans ce cas, la droite $\left(DE\right)$ sera donc orthogonale à ce plan.
Autrement dit : $\overrightarrow{DE}$ est un vecteur normal de $\left(P\right)$
$\overrightarrow{DE} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-1} \\ {1} \end{array}\right)$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DE} =\left(-1\right)\times 2+\left(-5\right)\times \left(-1\right)+\left(-3\right)\times 1=0$
$\overrightarrow{AC} \cdot\overrightarrow{DE} =1\times 2+\left(-7\right)\times \left(-1\right)+\left(-9\right)\times 1=0$
Il en résulte que $\overrightarrow{DE}$ est bien un vecteur normal de $\left(P\right)$

L'écriture générale du plan $\left(P\right)$ est de la forme $ax+by+cz+d=0$
Comme $\overrightarrow{DE} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-1} \\ {1} \end{array}\right)$ est un vecteur normal de $\left(P\right)$ alors on a : $2x-y+z+d=0$
Le point $A\left(1;7;1\right)$ appartient au plan $\left(P\right)$ donc :
$2x_{A} -y_{A} +z_{A} +d=0$ équivaut successivement à
$2\times 1-7+1+d=0$
$d=4$
Finalement l'écriture cartésienne du plan $\left(P\right)$ est :

On a $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-5} \\ {-2} \\ {4} \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right)$
On vérifie facilement que les deux vecteurs ne sont pas colinéaires, alors les points $A,B$ et $C$ ne sont pas alignés donc ils forment un plan.

Soit $\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \\ {1} \end{array}\right)$ un vecteur directeur de la droite $\left(d\right)$ . On rappelle que $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-5} \\ {-2} \\ {4} \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right)$

$\overrightarrow{u } \cdot \overrightarrow{AB } =2\times \left(-5 \right)+\left(-3\right)\times \left(-2 \right)+1\times 4=0$

$\overrightarrow{u } \cdot \overrightarrow{AC } =2\times1+\left(-3\right)\times 1+1\times 1=0$

$\overrightarrow{u}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $\left(ABC\right)$ donc la droite $\left(d\right)$ est orthogonale à deux droites sécantes de $\left(ABC\right)$. Autrement dit, la droite $\left(d\right)$ est bien orthogonale au plan $\left(ABC\right)$ .

Nous savons que la la droite $\left(d\right)$ est orthogonale au plan $\left(ABC\right)$ . Cela signifie donc qu'un vecteur directeur de la droite $\left(d\right)$ est colinéaire à un vecteur normal du plan $\left(ABC\right)$ .
D'après la question précédente, $\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \\ {1} \end{array}\right)$ est un vecteur directeur de la droite $\left(d\right)$.
Il en résulte donc que $\overrightarrow{n} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \\ {1} \end{array}\right)$ est un vecteur normal au plan $\left(ABC\right)$ .
Ici le plan s'écrit $2x-3y+z+d=0$ .
Or : $A\left(2;1;3\right)$ appartient au plan donc $2x_{A}-3y_{A}+z_{A}+d=0$
Ainsi : $2\times 2-3\times 1+3+d=0$, ce qui donne : $d+4=0$ d'où $d=-4$
On en conclut que l'équation cartésienne du plan recherché est :