Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace
Déterminer une équation cartésienne d'un plan
Exercice 1
On donne les points A(1;2;−3), B(2;3;−2) et C(−1;0;−5)
1
Les points A, B et C définissent-ils un plan ?
Correction
On vérifie facilement que les deux vecteurs sont colinéaires car AC=−2AB
Les points A,B et C sont donc alignés et ils forment une droite et par conséquent ces 3 points ne définissent pas un plan.
On donne les points A(2;3;1), B(3;0;−1) et C(1;2;−1)
2
Les points A, B et C définissent-ils un plan ?
Correction
On vérifie facilement que les deux vecteurs ne sont pas colinéaires, alors les points A,B et C ne sont pas alignés donc ils définissent un plan.
On donne les points A(−3;−3;−5), B(−2;−3;−3) et C(1;2;−1)
3
Les points A, B et C définissent-ils un plan ?
Correction
On vérifie facilement que les deux vecteurs ne sont pas colinéaires, alors les points A,B et C ne sont pas alignés donc ils définissent un plan.
Exercice 2
Déterminer, pour chaque cas, une équation cartésienne du plan P passant par le point A et de vecteur normal n .
1
A(1;2;3) et n(1;0;−2)
Correction
L'écriture cartésienne d'un plan ayant un vecteur normal n(a;b;c) s'écrit ax+by+cz+d=0 .
Ensuite pour déterminer la valeur de d, on utilise les coordonnées du point A.
Ici le plan s'écrit 1x+0y−2z+d=0, c'est à dire 1x−2z+d=0Ensuite pour déterminer la valeur de d, on utilise les coordonnées du point A.
Or : A(1;2;3) appartient au plan donc 1xA−2zA+d=0
Ainsi : 1×1−2×3+d=0, d'où d=5
On en conclut que l'équation cartésienne du plan recherché est :
1x−2z+5=0
2
A(−1;0;3) et n(2;−4;1)
Correction
L'écriture cartésienne d'un plan ayant un vecteur normal n(a;b;c) s'écrit ax+by+cz+d=0 .
Ensuite pour déterminer la valeur de d, on utilise les coordonnées du point A.
Ici le plan s'écrit 2x−4y+z+d=0Ensuite pour déterminer la valeur de d, on utilise les coordonnées du point A.
Or A(−1;0;3) appartient au plan donc 2xA−4yA+zA+d=0
Ainsi : 2×(−1)−4×0+3+d=0, d'où d=−1
On en conclut que l'équation cartésienne du plan recherché est :
2x−4y+z−1=0
3
A(1;1;4) et n(−2;5;8)
Correction
L'écriture cartésienne d'un plan ayant un vecteur normal n(a;b;c) s'écrit ax+by+cz+d=0 .
Ensuite pour déterminer la valeur de d, on utilise les coordonnées du point A.
Ici le plan s'écrit −2x+5y+8z+d=0Ensuite pour déterminer la valeur de d, on utilise les coordonnées du point A.
Or A(1;1;4) appartient au plan donc −2xA+5yA+8zA+d=0
Ainsi : −2×1+5×1+8×4+d=0, d'où d=−35
On en conclut que l'équation cartésienne du plan recherché est :
−2x+5y+8z−35=0
4
A(2;1;−1) et n(1;3;2)
Correction
L'écriture cartésienne d'un plan ayant un vecteur normal n(a;b;c) s'écrit ax+by+cz+d=0 .
Ensuite pour déterminer la valeur de d, on utilise les coordonnées du point A.
Ici le plan s'écrit x+3y+2z+d=0Ensuite pour déterminer la valeur de d, on utilise les coordonnées du point A.
Or A(2;1;−1) appartient au plan donc xA+3yA+2zA+d=0
Ainsi : 2+3×1+2×(−1)+d=0, d'où d=−3
On en conclut que l'équation cartésienne du plan recherché est :
x+3y+2z−3=0
5
A(−2;3;5) et n(1;−2;4)
Correction
L'écriture cartésienne d'un plan ayant un vecteur normal n(a;b;c) s'écrit ax+by+cz+d=0 .
Ensuite pour déterminer la valeur de d, on utilise les coordonnées du point A.
Ici le plan s'écrit x−2y+4z+d=0Ensuite pour déterminer la valeur de d, on utilise les coordonnées du point A.
Or A(−2;3;5) appartient au plan donc xA−2yA+4zA+d=0
Ainsi : −2−2×3+4×5+d=0, d'où d=−12
On en conclut que l'équation cartésienne du plan recherché est :
x−2y+4z−12=0
Exercice 3
On donne les points A(1;7;1), B(0;2;−2), C(2;0;−8), D(−1;1;2) et E(1;0;3)
1
Démontrer que les points A,B et C définissent un plan noté (P) de vecteur normal DE .
Correction
Etape 1 :
On commence par calculer les vecteurs AB et AC :
AB⎝⎛−1−5−3⎠⎞ et AC⎝⎛1−7−9⎠⎞
Les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires donc les points A,B et C définissent bien un plan.
Etape 2 :
Calculons le vecteur DE et si AB⋅DE=0 et AC⋅DE=0 alors le vecteur DE est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC). Dans ce cas, la droite (DE) sera donc orthogonale à ce plan.
Autrement dit : DE est un vecteur normal de (P)
DE⎝⎛2−11⎠⎞
AB⋅DE=(−1)×2+(−5)×(−1)+(−3)×1=0
AC⋅DE=1×2+(−7)×(−1)+(−9)×1=0
Il en résulte que DE est bien un vecteur normal de (P)
On commence par calculer les vecteurs AB et AC :
AB⎝⎛−1−5−3⎠⎞ et AC⎝⎛1−7−9⎠⎞
Les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires donc les points A,B et C définissent bien un plan.
Etape 2 :
Calculons le vecteur DE et si AB⋅DE=0 et AC⋅DE=0 alors le vecteur DE est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC). Dans ce cas, la droite (DE) sera donc orthogonale à ce plan.
Autrement dit : DE est un vecteur normal de (P)
DE⎝⎛2−11⎠⎞
AB⋅DE=(−1)×2+(−5)×(−1)+(−3)×1=0
AC⋅DE=1×2+(−7)×(−1)+(−9)×1=0
Il en résulte que DE est bien un vecteur normal de (P)
2
En déduire une équation cartésienne du plan (P)
Correction
L'écriture cartésienne d'un plan ayant un vecteur normal n(a;b;c) s'écrit ax+by+cz+d=0 .
Ensuite pour déterminer la valeur de d, on utilise les coordonnées du point A.
L'écriture générale du plan (P) est de la forme ax+by+cz+d=0Ensuite pour déterminer la valeur de d, on utilise les coordonnées du point A.
Comme DE⎝⎛2−11⎠⎞ est un vecteur normal de (P) alors on a : 2x−y+z+d=0
Le point A(1;7;1) appartient au plan (P) donc :
2xA−yA+zA+d=0 équivaut successivement à
2×1−7+1+d=0
d=4
Finalement l'écriture cartésienne du plan (P) est :
2x−y+z+4=0
Exercice 4
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé (0;i;j;k), on considère les points A(2;1;3) , B(−3;−1;7) et C(3;2;4) .
1
Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. Que peut-on en déduire ?
Correction
On vérifie facilement que les deux vecteurs ne sont pas colinéaires, alors les points A,B et C ne sont pas alignés donc ils forment un plan.
Soit (d) la droite de représentation paramétrique : ⎩⎨⎧xyz===−7+2t−3t4+t où t∈R
2
Montrer que la droite (d) est orthogonale au plan (ABC) .
Correction
- Soit une droite (Δ) définie par un point A(xA;yA;zA) et un vecteur directeur u(a;b;c). La droite (Δ) admet donc un système d’équations paramétriques, appelé représentation paramétrique, de la forme : ⎩⎨⎧xyz===xA+atyA+btzA+ct où t∈R
3
Donner une équation cartésienne du plan (ABC) .
Correction
Nous savons que la la droite (d) est orthogonale au plan (ABC) . Cela signifie donc qu'un vecteur directeur de la droite (d) est colinéaire à un vecteur normal du plan (ABC) .
D'après la question précédente, u⎝⎛2−31⎠⎞ est un vecteur directeur de la droite (d).
Il en résulte donc que n⎝⎛2−31⎠⎞ est un vecteur normal au plan (ABC) .
Or : A(2;1;3) appartient au plan donc 2xA−3yA+zA+d=0
Ainsi : 2×2−3×1+3+d=0, ce qui donne : d+4=0 d'où d=−4
On en conclut que l'équation cartésienne du plan recherché est :
D'après la question précédente, u⎝⎛2−31⎠⎞ est un vecteur directeur de la droite (d).
Il en résulte donc que n⎝⎛2−31⎠⎞ est un vecteur normal au plan (ABC) .
L'écriture cartésienne d'un plan ayant un vecteur normal n(a;b;c) s'écrit ax+by+cz+d=0 .
Ensuite pour déterminer la valeur de d, on utilise les coordonnées du point A.
Ici le plan s'écrit 2x−3y+z+d=0 .Ensuite pour déterminer la valeur de d, on utilise les coordonnées du point A.
Or : A(2;1;3) appartient au plan donc 2xA−3yA+zA+d=0
Ainsi : 2×2−3×1+3+d=0, ce qui donne : d+4=0 d'où d=−4
On en conclut que l'équation cartésienne du plan recherché est :
2x−3y+z−4=0
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