Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace
Déterminer une équation cartésienne d'un plan - Exercice 1
8 min
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Question 1
On donne les points A(1;2;−3), B(2;3;−2) et C(−1;0;−5)
Les points A, B et C définissent-ils un plan ?
Correction
Si les vecteurs AB et AC sont colinéaires alors les points A,B et C sont alignés donc ils forment une droite.
Si les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires alors les points A,B et C ne sont pas alignés donc ils définissent un plan.
On a : AB⎝⎛111⎠⎞ et AC⎝⎛−2−2−2⎠⎞ On vérifie facilement que les deux vecteurs sont colinéaires car AC=−2AB Les points A,B et C sont donc alignés et ils forment une droite et par conséquent ces 3 points ne définissent pas un plan.
Question 2
On donne les points A(2;3;1), B(3;0;−1) et C(1;2;−1)
Les points A, B et C définissent-ils un plan ?
Correction
Si les vecteurs AB et AC sont colinéaires alors les points A,B et C sont alignés donc ils forment une droite.
Si les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires alors les points A,B et C ne sont pas alignés donc ils définissent un plan.
On a : AB⎝⎛1−3−2⎠⎞ et AC⎝⎛−1−1−2⎠⎞ On vérifie facilement que les deux vecteurs ne sont pas colinéaires, alors les points A,B et C ne sont pas alignés donc ils définissent un plan.
Question 3
On donne les points A(−3;−3;−5), B(−2;−3;−3) et C(1;2;−1)
Les points A, B et C définissent-ils un plan ?
Correction
Si les vecteurs AB et AC sont colinéaires alors les points A,B et C sont alignés donc ils forment une droite.
Si les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires alors les points A,B et C ne sont pas alignés donc ils définissent un plan.
On a : AB⎝⎛102⎠⎞ et AC⎝⎛454⎠⎞ On vérifie facilement que les deux vecteurs ne sont pas colinéaires, alors les points A,B et C ne sont pas alignés donc ils définissent un plan.