Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droite - Exercice 1

Dans un premier temps, il va falloir déterminer l'équation paramétrique de la droite $$\left(d\right)$$ passant par le point $$A\left(\pink{1};\pink{-2};\pink{1}\right)$$ et de vecteur directeur $$\overrightarrow{u} \left(\red{2};\blue{4};\green{5}\right)$$. Il vient alors que :
$$\left(d\right): \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\pink{1}+\red{2}t} \\ {y} & {=} & {\pink{-2}+\blue{4}t} \\ {z} & {=} & {\pink{1}+\green{5}t} \end{array}\right.$$ où $$t\in \mathbb{R}$$
Le point $$H\left(x_H;y_H;z_H\right)$$ appartient à la droite $$\left(d\right)$$. Il existe donc un réel $$t'$$ tel que : $$\left(d\right): \left\{\begin{array}{ccc} {\purple{x_H}} & {=} & {1+2t'} \\ {\purple{y_H}} & {=} & {-2+4t'} \\ {\purple{z_H}} & {=} & {1+5t'} \end{array}\right.$$
$$H$$ étant le projeté orthogonal du point $$B$$ sur la droite $$\left(d\right)$$, on peut affirmer que les vecteurs $$\overrightarrow{u}$$ et $$\overrightarrow{BH}$$ sont orthogonaux.
Calculons le vecteur $$\overrightarrow{BH}$$, on alors : $$\overrightarrow{BH} \left(\begin{array}{c} {\purple{x_{H}} -6} \\ {\purple{y_{H}} -8} \\ {\purple{z_{H}} -6} \end{array}\right)$$ que l'on peut aussi écrire $$\overrightarrow{BH} \left(\begin{array}{c} {\purple{1+2t'}-6} \\ {\purple{-2+4t'}-8} \\ {\purple{1+5t'}-6} \end{array}\right)$$ et donc finalement $$\overrightarrow{BH} \left(\begin{array}{c} {-5+2t'} \\ {-10+4t'} \\ {-5+5t'} \end{array}\right)$$
Comme les vecteurs $$\overrightarrow{u}$$ et $$\overrightarrow{BH}$$ sont orthogonaux, alors :
$$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{BH} =0$$ équivaut successivement à :
$$2\times \left(-5+2t'\right)+4\left(-10+4t'\right)+5\left(-5+5t'\right)=0$$
$$-10+4t'-40+16t'-25+25t'=0$$
$$45t'-75=0$$
$$45t'=75$$
$$t'=\frac{75}{45}$$
Ainsi :
Le point $$H\left(x_H;y_H;z_H\right)$$ appartient à la droite $$\left(d\right)$$. Il existe donc un réel $$\orange{t'=\frac{5}{3}}$$ tel que : $$\left\{\begin{array}{ccc} {\purple{x_H}} & {=} & {1+2\times\orange{\frac{5}{3}}} \\ {\purple{y_H}} & {=} & {-2+4\times\orange{\frac{5}{3}}} \\ {\purple{z_H}} & {=} & {1+5\times\orange{\frac{5}{3}}} \end{array}\right.$$
D'où : $$\left\{\begin{array}{ccc} {x_H} & {=} & {\frac{13}{3}} \\ {y_H} & {=} & {\frac{14}{3}} \\ {z_H} & {=} & {\frac{28}{3}} \end{array}\right.$$
Finalement, les coordonnées du point $$H$$, projeté orthogonal du point $$B\left(6;8;6\right)$$ sur la droite $$\left(d\right)$$ sont $$H\left(\frac{13}{3};\frac{14}{3};\frac{28}{3}\right)$$