Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droite

Dans un premier temps, il va falloir déterminer l'équation paramétrique de la droite $\left(d\right)$ passant par le point $A\left(\pink{1};\pink{-2};\pink{1}\right)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u} \left(\red{2};\blue{4};\green{5}\right)$. Il vient alors que :
$\left(d\right): \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\pink{1}+\red{2}t} \\ {y} & {=} & {\pink{-2}+\blue{4}t} \\ {z} & {=} & {\pink{1}+\green{5}t} \end{array}\right.$ où $t\in \mathbb{R}$
Le point $H\left(x_H;y_H;z_H\right)$ appartient à la droite $\left(d\right)$. Il existe donc un réel $t'$ tel que : $\left(d\right): \left\{\begin{array}{ccc} {\purple{x_H}} & {=} & {1+2t'} \\ {\purple{y_H}} & {=} & {-2+4t'} \\ {\purple{z_H}} & {=} & {1+5t'} \end{array}\right.$
$H$ étant le projeté orthogonal du point $B$ sur la droite $\left(d\right)$, on peut affirmer que les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{BH}$ sont orthogonaux.
Calculons le vecteur $\overrightarrow{BH}$, on alors : $\overrightarrow{BH} \left(\begin{array}{c} {\purple{x_{H}} -6} \\ {\purple{y_{H}} -8} \\ {\purple{z_{H}} -6} \end{array}\right)$ que l'on peut aussi écrire $\overrightarrow{BH} \left(\begin{array}{c} {\purple{1+2t'}-6} \\ {\purple{-2+4t'}-8} \\ {\purple{1+5t'}-6} \end{array}\right)$ et donc finalement $\overrightarrow{BH} \left(\begin{array}{c} {-5+2t'} \\ {-10+4t'} \\ {-5+5t'} \end{array}\right)$
Comme les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{BH}$ sont orthogonaux, alors :
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{BH} =0$ équivaut successivement à :
$2\times \left(-5+2t'\right)+4\left(-10+4t'\right)+5\left(-5+5t'\right)=0$
$-10+4t'-40+16t'-25+25t'=0$
$45t'-75=0$
$45t'=75$
$t'=\frac{75}{45}$
Ainsi :
Le point $H\left(x_H;y_H;z_H\right)$ appartient à la droite $\left(d\right)$. Il existe donc un réel $\orange{t'=\frac{5}{3}}$ tel que : $\left\{\begin{array}{ccc} {\purple{x_H}} & {=} & {1+2\times\orange{\frac{5}{3}}} \\ {\purple{y_H}} & {=} & {-2+4\times\orange{\frac{5}{3}}} \\ {\purple{z_H}} & {=} & {1+5\times\orange{\frac{5}{3}}} \end{array}\right.$
D'où : $\left\{\begin{array}{ccc} {x_H} & {=} & {\frac{13}{3}} \\ {y_H} & {=} & {\frac{14}{3}} \\ {z_H} & {=} & {\frac{28}{3}} \end{array}\right.$
Finalement, les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $B\left(6;8;6\right)$ sur la droite $\left(d\right)$ sont $H\left(\frac{13}{3};\frac{14}{3};\frac{28}{3}\right)$