Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droite
Exercice 1
1
Soit (d) la droite passant par le point A(1;−2;1) et de vecteur directeur u(2;4;5) . Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point B(6;8;6) sur la droite (d) .
Correction
Pour répondre à cette question, voici la démarche à suivre :Etape 1 : donner l’équation paramétrique de la droite (d) Etape 2 : exprimer les coordonnées du point H à l’aide de la droite (d) Etape 3 : Calculer le vecteur BH Etape 4 : Comme BH et u orthogonaux alors u⋅BH=0 pour déterminer t′ Etape 5 : Replacer t′ obtenu pour obtenir les coordonnées de H
- Soit une droite (Δ) définie par un point A(xA;yA;zA) et un vecteur directeur u(a;b;c).
La droite (Δ) admet donc un système d’équations paramétriques, appelé représentation paramétrique, de la forme : ⎩⎨⎧xyz===xA+atyA+btzA+ct où t∈R
(d):⎩⎨⎧xyz===1+2t−2+4t1+5t où t∈R
Le point H(xH;yH;zH) appartient à la droite (d). Il existe donc un réel t′ tel que : (d):⎩⎨⎧xHyHzH===1+2t′−2+4t′1+5t′
H étant le projeté orthogonal du point B sur la droite (d), on peut affirmer que les vecteurs u et BH sont orthogonaux.
Calculons le vecteur BH, on alors : BH⎝⎛xH−6yH−8zH−6⎠⎞ que l'on peut aussi écrire BH⎝⎛1+2t′−6−2+4t′−81+5t′−6⎠⎞ et donc finalement BH⎝⎛−5+2t′−10+4t′−5+5t′⎠⎞
Comme les vecteurs u et BH sont orthogonaux, alors :
u⋅BH=0 équivaut successivement à :
2×(−5+2t′)+4(−10+4t′)+5(−5+5t′)=0
−10+4t′−40+16t′−25+25t′=0
−10+4t′−40+16t′−25+25t′=0
25t′−75=0
25t′=75
t′=2575
Ainsi :
t′=3
Le point H(xH;yH;zH) appartient à la droite (d). Il existe donc un réel t′=3 tel que : ⎩⎨⎧xHyHzH===1+2×3−2+4×31+5×3
D'où : ⎩⎨⎧xHyHzH===71016
Finalement, les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point B(6;8;6) sur la droite (d) sont H(7;10;16)
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