Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace

Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droite - Exercice 1

10 min
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Question 1

Soit (d)\left(d\right) la droite passant par le point A(1;−2;1)A\left(1;-2;1\right) et de vecteur directeur u→(2;4;5)\overrightarrow{u} \left(2;4;5\right) . Déterminer les coordonnées du point HH, projeté orthogonal du point B(6;8;6)B\left(6;8;6\right) sur la droite (d)\left(d\right) .

Correction
Pour répondre à cette question, voici la démarche à suivre :
  • Etape 1 :\red{\text{Etape 1 :}} donner l’équation paramétrique de la droite (d)\left(d\right)
  • Etape 2 :\red{\text{Etape 2 :}} exprimer les coordonnées du point HH à l’aide de la droite (d)\left(d\right)
  • Etape 3 :\red{\text{Etape 3 :}} Calculer le vecteur BH→\overrightarrow{BH}
  • Etape 4 :\red{\text{Etape 4 :}} Comme BH→\overrightarrow{BH} et u→\overrightarrow{u} orthogonaux alors u→⋅BH→=0\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{BH} =0 pour déterminer t′t'
  • Etape 5 :\red{\text{Etape 5 :}} Replacer t′t' obtenu pour obtenir les coordonnées de HH
      • Soit une droite (Δ)\left(\Delta\right) définie par un point A(xA;yA;zA)A\left(\pink{x_{A}};\pink{y_{A}};\pink{z_{A}}\right) et un vecteur directeur u→(a;b;c)\overrightarrow{u}\left(\red{a};\blue{b};\green{c}\right).
      La droite (Δ)\left(\Delta\right) admet donc un système d’équations paramétriques, appelé représentation paramétrique, de la forme : {x=xA+aty=yA+btz=zA+ct\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\pink{x_{A}}+\red{a}t} \\ {y} & {=} & {\pink{y_{A}}+\blue{b}t} \\ {z} & {=} & {\pink{z_{A}}+\green{c}t} \end{array}\right. où t∈Rt\in \mathbb{R}
    Dans un premier temps, il va falloir déterminer l'équation paramétrique de la droite (d)\left(d\right) passant par le point A(1;−2;1)A\left(\pink{1};\pink{-2};\pink{1}\right) et de vecteur directeur u→(2;4;5)\overrightarrow{u} \left(\red{2};\blue{4};\green{5}\right). Il vient alors que :
    (d):{x=1+2ty=−2+4tz=1+5t\left(d\right): \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\pink{1}+\red{2}t} \\ {y} & {=} & {\pink{-2}+\blue{4}t} \\ {z} & {=} & {\pink{1}+\green{5}t} \end{array}\right. où t∈Rt\in \mathbb{R}
    Le point H(xH;yH;zH)H\left(x_H;y_H;z_H\right) appartient à la droite (d)\left(d\right). Il existe donc un réel t′t' tel que : (d):{xH=1+2t′yH=−2+4t′zH=1+5t′\left(d\right): \left\{\begin{array}{ccc} {\purple{x_H}} & {=} & {1+2t'} \\ {\purple{y_H}} & {=} & {-2+4t'} \\ {\purple{z_H}} & {=} & {1+5t'} \end{array}\right.
    HH étant le projeté orthogonal du point BB sur la droite (d)\left(d\right), on peut affirmer que les vecteurs u→\overrightarrow{u} et BH→\overrightarrow{BH} sont orthogonaux.
    Calculons le vecteur BH→\overrightarrow{BH}, on alors : BH→(xH−6yH−8zH−6)\overrightarrow{BH} \left(\begin{array}{c} {\purple{x_{H}} -6} \\ {\purple{y_{H}} -8} \\ {\purple{z_{H}} -6} \end{array}\right) que l'on peut aussi écrire BH→(1+2t′−6−2+4t′−81+5t′−6)\overrightarrow{BH} \left(\begin{array}{c} {\purple{1+2t'}-6} \\ {\purple{-2+4t'}-8} \\ {\purple{1+5t'}-6} \end{array}\right) et donc finalement BH→(−5+2t′−10+4t′−5+5t′)\overrightarrow{BH} \left(\begin{array}{c} {-5+2t'} \\ {-10+4t'} \\ {-5+5t'} \end{array}\right)
    Comme les vecteurs u→\overrightarrow{u} et BH→\overrightarrow{BH} sont orthogonaux, alors :
    u→⋅BH→=0\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{BH} =0 équivaut successivement à :
    2×(−5+2t′)+4(−10+4t′)+5(−5+5t′)=02\times \left(-5+2t'\right)+4\left(-10+4t'\right)+5\left(-5+5t'\right)=0
    −10+4t′−40+16t′−25+25t′=0-10+4t'-40+16t'-25+25t'=0
    45t′−75=045t'-75=0
    45t′=7545t'=75
    t′=7545t'=\frac{75}{45}
    Ainsi :
    t′=53\orange{t'=\frac{5}{3}}

    Le point H(xH;yH;zH)H\left(x_H;y_H;z_H\right) appartient à la droite (d)\left(d\right). Il existe donc un réel t′=53\orange{t'=\frac{5}{3}} tel que : {xH=1+2×53yH=−2+4×53zH=1+5×53 \left\{\begin{array}{ccc} {\purple{x_H}} & {=} & {1+2\times\orange{\frac{5}{3}}} \\ {\purple{y_H}} & {=} & {-2+4\times\orange{\frac{5}{3}}} \\ {\purple{z_H}} & {=} & {1+5\times\orange{\frac{5}{3}}} \end{array}\right.
    D'où : {xH=133yH=143zH=283 \left\{\begin{array}{ccc} {x_H} & {=} & {\frac{13}{3}} \\ {y_H} & {=} & {\frac{14}{3}} \\ {z_H} & {=} & {\frac{28}{3}} \end{array}\right.
    Finalement, les coordonnées du point HH, projeté orthogonal du point B(6;8;6)B\left(6;8;6\right) sur la droite (d)\left(d\right) sont H(133;143;283)H\left(\frac{13}{3};\frac{14}{3};\frac{28}{3}\right)