Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur un plan - Exercice 2

Soit le plan $$P$$ d'équation cartésienne $$x+y-z+5=0$$ . Un vecteur normal du plan $$P$$ est alors $$\overrightarrow{n} \left(1;1;-1\right)$$
$$H\left(x_{H} ;y_{H} ;z_{H} \right)$$ étant le projeté orthogonal du point $$A$$ sur le plan $$P$$, cela signifie que la droite $$\left(HA\right)$$ est orthogonale au plan $$P$$.
Nous pouvons donc donner une écriture paramétrique de la droite $$\left(HA\right)$$ dont un vecteur directeur $$\overrightarrow{u}$$ est colinéaire au vecteur normal $$\overrightarrow{n} \left(1;1;-1\right)$$ du plan $$P$$ et passant par le point $$A$$.
Nous allons donc prendre $$\overrightarrow{u} \left(1;1;-1\right)$$ comme vecteur directeur de la droite $$\left(HA\right)$$ .
L'écriture paramétrique de la droite $$\left(HA\right)$$ passant par le point $$A\left(\pink{3};\pink{1};\pink{1}\right)$$ et de vecteur directeur $$\overrightarrow{u} \left(\red{1};\blue{1};\green{-1}\right)$$ est alors : $$\left(HA\right): \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\pink{3}+\red{1}t} \\ {y} & {=} & {\pink{1}+\blue{1}t} \\ {z} & {=} & {\pink{1}\green{-1}t} \end{array}\right.$$ où $$t\in \mathbb{R}$$
Le point $$H\left({\color{blue}x_{H}} ;{\color{red}y_{H}} ;{\color{green}z_{H}} \right)$$ appartient à la droite $$\left(HA\right)$$ et au plan $$P$$ donc les coordonnées de $$H$$ vérifient le système suivant :
$$\left\{\begin{array}{c} {{\color{blue}x_{H}} +{\color{red}y_{H}} -{\color{green}z_{H}} +5=0} \\ {{\color{blue}x_{H}} =3+t} \\ {{\color{red}y_{H}} =1+t} \\ {{\color{green}z_{H}} =1-t} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{c} { {\color{blue}3+t}+ {\color{red}1+t}- \left(\color{green}1-t\right)+5=0} \\ {x_{H} =3+t} \\ {y_{H} =1+t} \\ {z_{H} =1-t} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{c} {3+t+1+t-1+t+5=0} \\ {x_{H} =3+t} \\ {y_{H} =1+t} \\ {z_{H} =1-t} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{c} {3t+8=0} \\ {x_{H} =3+t} \\ {y_{H} =1+t} \\ {z_{H} =1-t} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{c} {t=-\frac{8}{3}} \\ {x_{H} =3+t} \\ {y_{H} =1+t} \\ {z_{H} =1-t} \end{array}\right.$$ . Maintenant que nous connaissons $$t$$, nous allons pouvoir déterminer les coordonnées du point $$H$$ .
$$\left\{\begin{array}{c} {t=-\frac{8}{3}} \\ {x_{H} =3-\frac{8}{3}} \\ {y_{H} =1-\frac{8}{3}} \\ {z_{H} =1-\left(-\frac{8}{3}\right)} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{c} {t=-\frac{8}{3}} \\ {x_{H} =\frac{1}{3}} \\ {y_{H} =-\frac{5}{3}} \\ {z_{H} =\frac{11}{3}} \end{array}\right.$$
Les coordonnées du projeté orthogonal $$H$$ du point $$A$$ sur le plan $$P$$ sont alors : $$H\left(\frac{1}{3};-\frac{5}{3};\frac{11}{3}\right)$$