Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace

Déterminer la représentation paramétrique de la droite d'intersection de deux plans donnés - Exercice 2

5 min
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Question 1

Soient les plans P1:2x+y+z2=0P_{1} :2x+y+z-2=0 et P2:3x2y+4z2=0P_{2} :3x-2y+4z-2=0 .
Déterminer si les deux plans sont sécants et si tel est le cas déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection.

Correction
    Soient n1\overrightarrow{n_{1} } et n2\overrightarrow{n_{2} } des vecteurs normaux respectifs des plans (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right).
  • si n1\overrightarrow{n_{1} } et n2\overrightarrow{n_{2} } sont colinéaires alors (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) sont parallèles.
  • si n1\overrightarrow{n_{1} } et n2\overrightarrow{n_{2} } ne sont pas colinéaires alors (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) ne sont pas parallèles. Cela signifie donc que les plans sont sécants.
Soient n1(211)\overrightarrow{n_{1} } \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right) et n2(324)\overrightarrow{n_{2} } \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-2} \\ {4} \end{array}\right) des vecteurs normaux respectifs des plans (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right).
On vérifie facilement que les deux vecteurs normaux ne sont pas colinéaires (non proportionnels), alors les plans (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) ne sont pas parallèles.
Cela signifie donc que les plans sont seˊcants.\text{\red{sécants.}}
Pour déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection. Il nous faut résoudre le système suivant :
{2x+y+z2=03x2y+4z2=0\left\{\begin{array}{ccc} {2x+y+z-2} & {=} & {0} \\ {3x-2y+4z-2} & {=} & {0} \end{array}\right.
Il s'agit d'un système de deux équations à 33 inconnues. Nous allons exprimer une des trois inconnues à l'aide d'un paramètre réel tt.
On exprime par exemple x=tx=t ( Mais nous aurions tout aussi pu écrire y=ty=t ou z=tz=t). C'est à vous de choisir.
Nous avons donc dit alors x=tx=t. Ce qui nous donne :
{x=t2x+y+z2=03x2y+4z2=0\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {t} \\ {2x+y+z-2} & {=} & {0} \\ {3x-2y+4z-2} & {=} & {0} \end{array}\right. tt\in R\mathbb{R}
{x=t2t+y+z2=03t2y+4z2=0\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {t} \\ {2t+y+z-2} & {=} & {0} \\ {3t-2y+4z-2} & {=} & {0} \end{array}\right. tt\in R\mathbb{R}
{x=t2t+y+z2=03t2y+4z2=0\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {t} \\ {2t+y+z-2} & {=} & {0} \\ {3t-2y+4z-2} & {=} & {0} \end{array}\right. tt\in R\mathbb{R}
{x=ty=2tz+23t2y+4z2=0\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {t} \\ {y} & {=} & {-2t-z+2} \\ {3t-2y+4z-2} & {=} & {0} \end{array}\right. tt\in R\mathbb{R}
{x=ty=2tz+23t2(2tz+2)+4z2=0\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {t} \\ {y} & {=} & {-2t-z+2} \\ {3t-2\left(-2t-z+2\right)+4z-2} & {=} & {0} \end{array}\right. tt\in R\mathbb{R}
{x=ty=2tz+23t+4t+2z4+4z2=0\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {t} \\ {y} & {=} & {-2t-z+2} \\ {3t+4t+2z-4+4z-2} & {=} & {0} \end{array}\right. tt\in R\mathbb{R}
{x=ty=2tz+27t+6z6=0\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {t} \\ {y} & {=} & {-2t-z+2} \\ {7t+6z-6} & {=} & {0} \end{array}\right. tt\in R\mathbb{R}
{x=ty=2tz+26z=7t+6\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {t} \\ {y} & {=} & {-2t-z+2} \\ {6z} & {=} & {-7t+6} \end{array}\right. tt\in R\mathbb{R}
{x=ty=2tz+2z=7t+66\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {t} \\ {y} & {=} & {-2t-z+2} \\ {z} & {=} & {\frac{-7t+6}{6} } \end{array}\right. tt\in R\mathbb{R}
{x=ty=2tz+2z=76t+1\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {t} \\ {y} & {=} & {-2t-z+2} \\ {z} & {=} & {-\frac{7}{6} t+1} \end{array}\right. tt\in R\mathbb{R}
{x=ty=2t+76t1+2z=76t+1\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {t} \\ {y} & {=} & {-2t+\frac{7}{6} t-1+2} \\ {z} & {=} & {-\frac{7}{6} t+1} \end{array}\right. tt\in R\mathbb{R}
{x=ty=56t+1z=76t+1\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {t} \\ {y} & {=} & {-\frac{5}{6} t+1} \\ {z} & {=} & {-\frac{7}{6} t+1} \end{array}\right. tt\in R\mathbb{R}

Une représentation paramétrique de la droite d'intersection des deux plans P1P_{1} et P2P_{2} est alors {x=ty=56t+1z=76t+1\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {t} \\ {y} & {=} & {-\frac{5}{6} t+1} \\ {z} & {=} & {-\frac{7}{6} t+1} \end{array}\right. tt\in R\mathbb{R}