Déterminer la distance d'un point à un plan - Exercice 4

3 min

Question 1

Déterminer la distance entre le point $A\left(4 ;-1 ;0 \right)$ et le plan $P$ d'équation cartésienne $-6x-3z+4=0$

Correction

P

{\color{blue}{a}}x+{\color{red}{b}}y+{\color{purple}{c}}z+d=0

A\left(x_{A} ;y_{A} ;z_{A} \right)

\red{\text{distance}}

, notée

d\left(A;P\right)

, entre le point

A

et le plan

P

est donnée par la formule :

d\left(A;P\right)=\frac{\left|{\color{blue}{a}}x_{A} +{\color{red}{b}}y_{A} +{\color{purple}{c}}z_{A} +d\right|}{\sqrt{{\color{blue}{a}}^{2} +{\color{red}{b}}^{2} +{\color{purple}{c}}^{2} } }

Nous cherchons la distance entre le point

A\left(\pink{4} ;\pink{-1} ;\pink{0 }\right)

et le plan

P

d'équation cartésienne

{\color{blue}{-6}}x-{\color{purple}{3}}z+4=0

D'après le rappel, nous avons :

d\left(A;P\right)=\frac{\left|{\color{blue}{-6}}\times \pink{4} -{\color{purple}{3}}\times \pink{0}+4\right|}{\sqrt{({\color{blue}{-6}})^{2} +{\color{purple}{\left(-3\right)}}^{2} } }

d\left(A;P\right)=\frac{\left|-20\right|}{\sqrt{45} }

d\left(A;P\right)=\frac{20}{\sqrt{45}}

d\left(A;P\right)=\frac{20\times \sqrt{45}}{\sqrt{45}\times \sqrt{45}}

d\left(A;P\right)=\frac{20\sqrt{45}}{45}

d\left(A;P\right)=\frac{20\times\sqrt{9}\times\sqrt{5}}{45}

d\left(A;P\right)=\frac{20\times3\times\sqrt{5}}{45}

d\left(A;P\right)=\frac{5\times4\times3\times\sqrt{5}}{3\times3\times5}

d\left(A;P\right)=\frac{\cancel{5}\times4\times\cancel{3}\times\sqrt{5}}{3\times\cancel{3}\times\cancel{5}}

Enfin :

d\left(A;P\right)=\frac{4\sqrt{45}}{3}

Finalement, la distance entre le point

A\left(4;-1 ;0 \right)

et le plan

P

d'équation cartésienne

-6x-3z+4=0

est égale à :

d\left(A;P\right)=\frac{4\sqrt{45}}{3}