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Déterminer la distance d'un point à un plan - Exercice 4

3 min
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Question 1

Déterminer la distance entre le point A(4;−1;0)A\left(4 ;-1 ;0 \right) et le plan PP d'équation cartésienne −6x−3z+4=0-6x-3z+4=0

Correction
    Soit PP le plan d'équation cartésienne ax+by+cz+d=0{\color{blue}{a}}x+{\color{red}{b}}y+{\color{purple}{c}}z+d=0 et A(xA;yA;zA)A\left(x_{A} ;y_{A} ;z_{A} \right) un point du plan.
  • La distance\red{\text{distance}}, notée d(A;P)d\left(A;P\right), entre le point AA et le plan PP est donnée par la formule : d(A;P)=∣axA+byA+czA+d∣a2+b2+c2d\left(A;P\right)=\frac{\left|{\color{blue}{a}}x_{A} +{\color{red}{b}}y_{A} +{\color{purple}{c}}z_{A} +d\right|}{\sqrt{{\color{blue}{a}}^{2} +{\color{red}{b}}^{2} +{\color{purple}{c}}^{2} } }
    • Nous cherchons la distance entre le point A(4;−1;0)A\left(\pink{4} ;\pink{-1} ;\pink{0 }\right) et le plan PP d'équation cartésienne −6x−3z+4=0{\color{blue}{-6}}x-{\color{purple}{3}}z+4=0
    D'après le rappel, nous avons :
    d(A;P)=∣−6×4−3×0+4∣(−6)2+(−3)2d\left(A;P\right)=\frac{\left|{\color{blue}{-6}}\times \pink{4} -{\color{purple}{3}}\times \pink{0}+4\right|}{\sqrt{({\color{blue}{-6}})^{2} +{\color{purple}{\left(-3\right)}}^{2} } }
    d(A;P)=∣−20∣45d\left(A;P\right)=\frac{\left|-20\right|}{\sqrt{45} }
    d(A;P)=2045d\left(A;P\right)=\frac{20}{\sqrt{45}}
    d(A;P)=20×4545×45d\left(A;P\right)=\frac{20\times \sqrt{45}}{\sqrt{45}\times \sqrt{45}}
    d(A;P)=204545d\left(A;P\right)=\frac{20\sqrt{45}}{45}
    d(A;P)=20×9×545d\left(A;P\right)=\frac{20\times\sqrt{9}\times\sqrt{5}}{45}
    d(A;P)=20×3×545d\left(A;P\right)=\frac{20\times3\times\sqrt{5}}{45}
    d(A;P)=5×4×3×53×3×5d\left(A;P\right)=\frac{5\times4\times3\times\sqrt{5}}{3\times3\times5}
    d(A;P)=5×4×3×53×3×5d\left(A;P\right)=\frac{\cancel{5}\times4\times\cancel{3}\times\sqrt{5}}{3\times\cancel{3}\times\cancel{5}}
    Enfin :
    d(A;P)=4453d\left(A;P\right)=\frac{4\sqrt{45}}{3}

    Finalement, la distance entre le point A(4;−1;0)A\left(4;-1 ;0 \right) et le plan PP d'équation cartésienne −6x−3z+4=0-6x-3z+4=0 est égale à : d(A;P)=4453d\left(A;P\right)=\frac{4\sqrt{45}}{3}

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