Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace

Déterminer la distance d'un point à un plan - Exercice 3

3 min
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Question 1

Déterminer la distance entre le point A(0;1;2)A\left(0 ;1 ;2 \right) et le plan PP d'équation cartésienne 2x−y+3z+2=02x-y+3z+2=0

Correction
    Soit PP le plan d'équation cartésienne ax+by+cz+d=0{\color{blue}{a}}x+{\color{red}{b}}y+{\color{purple}{c}}z+d=0 et A(xA;yA;zA)A\left(x_{A} ;y_{A} ;z_{A} \right) un point du plan.
  • La distance\red{\text{distance}}, notée d(A;P)d\left(A;P\right), entre le point AA et le plan PP est donnée par la formule : d(A;P)=∣axA+byA+czA+d∣a2+b2+c2d\left(A;P\right)=\frac{\left|{\color{blue}{a}}x_{A} +{\color{red}{b}}y_{A} +{\color{purple}{c}}z_{A} +d\right|}{\sqrt{{\color{blue}{a}}^{2} +{\color{red}{b}}^{2} +{\color{purple}{c}}^{2} } }
    • Nous cherchons la distance entre le point A(0;1;2)A\left(\pink{0} ;\pink{1} ;\pink{2}\right) et le plan PP d'équation cartésienne 2x−y+3z+2=0{\color{blue}{2}}x{\color{red}{-}}y+{\color{purple}{3}}z+2=0
    D'après le rappel, nous avons :
    d(A;P)=∣2×0+(−1)×1+3×2+2∣22+(−1)2+32d\left(A;P\right)=\frac{\left|{\color{blue}{2}}\times \pink{0} +\left({\color{red}{-1}}\right)\times \pink{1} +{\color{purple}{3}}\times \pink{2}+2\right|}{\sqrt{{\color{blue}{2}}^{2} +\left({\color{red}{-1}}\right)^{2} +{\color{purple}{3}}^{2} } }
    d(A;P)=∣7∣14d\left(A;P\right)=\frac{\left|7\right|}{\sqrt{14} }
    d(A;P)=714d\left(A;P\right)=\frac{7}{\sqrt{14} }
    d(A;P)=7×1414×14d\left(A;P\right)=\frac{7\times \sqrt{14} }{\sqrt{14} \times \sqrt{14} }
    d(A;P)=142d\left(A;P\right)=\frac{\sqrt{14} }{2}
    Enfin :
    d(A;P)=142d\left(A;P\right)=\frac{\sqrt{14} }{2}

    Finalement, la distance entre le point A(0;1;2)A\left(0 ;1 ;2 \right) et le plan PP d'équation cartésienne 2x−y+3z+2=02x-y+3z+2=0 est égale à : d(A;P)=142d\left(A;P\right)=\frac{\sqrt{14} }{2}