Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace

Déterminer la distance d'un point à un plan - Exercice 1

3 min
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Question 1

Déterminer la distance entre le point A(−2;3;5)A\left(-2 ;3 ;5 \right) et le plan PP d'équation cartésienne 4x+6y+2z−7=04x+6y+2z-7=0

Correction
    Soit PP le plan d'équation cartésienne ax+by+cz+d=0{\color{blue}{a}}x+{\color{red}{b}}y+{\color{purple}{c}}z+d=0 et A(xA;yA;zA)A\left(x_{A} ;y_{A} ;z_{A} \right) un point du plan.
  • La distance\red{\text{distance}}, notée d(A;P)d\left(A;P\right), entre le point AA et le plan PP est donnée par la formule : d(A;P)=∣axA+byA+czA+d∣a2+b2+c2d\left(A;P\right)=\frac{\left|{\color{blue}{a}}x_{A} +{\color{red}{b}}y_{A} +{\color{purple}{c}}z_{A} +d\right|}{\sqrt{{\color{blue}{a}}^{2} +{\color{red}{b}}^{2} +{\color{purple}{c}}^{2} } }
    • Nous cherchons la distance entre le point A(−2;3;5)A\left(\pink{-2} ;\pink{3} ;\pink{5 }\right) et le plan PP d'équation cartésienne 4x+6y+2z−7=0{\color{blue}{4}}x+{\color{red}{6}}y+{\color{purple}{2}}z-7=0
    D'après le rappel, nous avons :
    d(A;P)=∣4×(−2)+6×3+2×5−7∣42+62+22d\left(A;P\right)=\frac{\left|{\color{blue}{4}}\times (\pink{-2}) +{\color{red}{6}}\times \pink{3} +{\color{purple}{2}}\times \pink{5}-7\right|}{\sqrt{{\color{blue}{4}}^{2} +{\color{red}{6}}^{2} +{\color{purple}{2}}^{2} } }
    d(A;P)=∣13∣214d\left(A;P\right)=\frac{\left|13\right|}{2\sqrt{14} }
    d(A;P)=13214d\left(A;P\right)=\frac{13}{2\sqrt{14} }
    d(A;P)=13×14214×14d\left(A;P\right)=\frac{13\times \sqrt{14} }{2\sqrt{14} \times \sqrt{14} }
    Enfin :
    d(A;P)=131428d\left(A;P\right)=\frac{13\sqrt{14} }{28}

    Finalement, la distance entre le point A(−2;3;5)A\left(-2;3 ;5 \right) et le plan PP d'équation cartésienne 4x+6y+2z−7=04x+6y+2z-7=0 est égale à : d(A;P)=131428d\left(A;P\right)=\frac{13\sqrt{14} }{28}