Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace

Déterminer l'intersection entre une droite et un plan - Exercice 4

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Dans l'espace muni d'un repère (0;i→;j→;k→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right), on considère le plan (P1)\left(P_{1} \right) et la droite (d1)\left(d_{1} \right) admettant pour équations respectives :
(P1):4x−y+z−7=0\left(P_{1} \right):4x-y+z-7=0 et (d1):{x=t+1y=3t−1z=−t+2\left(d_{1} \right):\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {t+1} \\ {y} & {=} & {3t-1} \\ {z} & {=} & {-t+2} \end{array}\right. où t∈t\in R\mathbb{R}
Question 1

(P1)\left(P_{1} \right) et (d1)\left(d_{1} \right) sont-ils sécants ?
Si oui, déterminer les coordonnées du ou des points d'intersections ?

Correction
Etape 1
Commencer par vérifier si le plan et la droite ne sont pas parallèles, par conséquent le plan et la droite sont sécants.
Etape 2
Il faut résoudre le système constitué de l'écriture paramétrique de la droite (d1)\left(d_{1} \right) et du plan (P)\left(P \right) pour déterminer la valeur de tt
Ensuite, on substitue la valeur tt dans la droite (d1)\left(d_{1} \right) pour obtenir les coordonnées du point d'intersection entre le plan et la droite.
 Etape 1 : \red{\text{ Etape 1 : }}
Soient : n1→(4−11)\overrightarrow{n_{1} } \left(\begin{array}{c} {4} \\ {-1} \\ {1} \end{array}\right) un vecteur normal du plan (P1)\left(P_{1} \right) et u1→(13−1)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {3} \\ {-1} \end{array}\right) un vecteur directeur de (d1)\left(d_{1} \right)
n1→⋅u1→=1×4+(−1)×3+1×(−1)=0\overrightarrow{n_{1} } \cdot\overrightarrow{u_{1} } =1\times 4+\left(-1\right)\times 3+1\times \left(-1\right)=0
Donc (P1)\left(P_{1} \right) et (d1)\left(d_{1} \right) sont parallèles.
 Etape 2 : \red{\text{ Etape 2 : }}
Maintenant, est-ce que la droite (d1)\left(d_{1} \right) est incluse dans le plan (P1)\left(P_{1} \right) ?
Pour cela on résout le système :
(P1∩d1)⇔{4x−y+z−7=0x=t+1y=3t−1z=−t+2\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {4x-y+z-7=0} \\ {x=t+1} \\ {y=3t-1} \\ {z=-t+2} \end{array}\right. où t∈Rt\in \mathbb{R}
On remplace la valeur de x,yx,y et zzdans le plan (P1)\left(P_{1} \right)
(P1∩d1)⇔{4(t+1)−(3t−1)+(−t+2)−7=0x=t+1y=3t−1z=−t+2\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {4\left(t+1\right)-\left(3t-1\right)+\left(-t+2\right)-7=0} \\ {x=t+1} \\ {y=3t-1} \\ {z=-t+2} \end{array}\right. équivaut successivement à
(P1∩d1)⇔{4t+4−3t+1−t+2−7=0x=t+1y=3t−1z=−t+2\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {4t+4-3t+1-t+2-7=0} \\ {x=t+1} \\ {y=3t-1} \\ {z=-t+2} \end{array}\right.
Ainsi (P1∩d1)⇔{0=0x=t+1y=3t−1z=−t+2\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {0=0} \\ {x=t+1} \\ {y=3t-1} \\ {z=-t+2} \end{array}\right.
0=00=0 est une équation toujours vraie.
Cela signifie que la droite est incluse dans le plan.