Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace

Déterminer l'intersection entre une droite et un plan - Exercice 3

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Dans l'espace muni d'un repère (0;i→;j→;k→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right), on considère le plan (P1)\left(P_{1} \right) et la droite (d1)\left(d_{1} \right) admettant pour équations respectives :
(P1):x+2y+z+1=0\left(P_{1} \right):x+2y+z+1=0 et (d1):{x=−t+1y=2t−1z=−3t+2\left(d_{1} \right):\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-t+1} \\ {y} & {=} & {2t-1} \\ {z} & {=} & {-3t+2} \end{array}\right. où t∈Rt\in \mathbb{R}
Question 1

(P1)\left(P_{1} \right) et (d1)\left(d_{1} \right) sont-ils sécants ?
Si oui, déterminer les coordonnées du ou des points d'intersections ?

Correction
Etape 1
Commencer par vérifier si le plan et la droite ne sont pas parallèles, par conséquent le plan et la droite sont sécants.
Etape 2
Il faut résoudre le système constitué de l'écriture paramétrique de la droite (d1)\left(d_{1} \right) et du plan (P)\left(P \right) pour déterminer la valeur de tt
Ensuite, on substitue la valeur tt dans la droite (d1)\left(d_{1} \right) pour obtenir les coordonnées du point d'intersection entre le plan et la droite.
 Etape 1 :\red{\text{ Etape 1 :}}
Soient : n1→(121)\overrightarrow{n_{1} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {1} \end{array}\right) un vecteur normal du plan (P1)\left(P_{1} \right) et u1→(−12−3)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \\ {-3} \end{array}\right) un vecteur directeur de (d1)\left(d_{1} \right)
n1→⋅u1→=1×(−1)+2×2+1×(−3)=0\overrightarrow{n_{1} } \cdot\overrightarrow{u_{1} } =1\times \left(-1\right)+2\times 2+1\times \left(-3\right)=0
Donc (P1)\left(P_{1} \right) et (d1)\left(d_{1} \right) sont parallèles.
 Etape 2 : \red{\text{ Etape 2 : }}
Maintenant, est-ce que la droite (d1)\left(d_{1} \right) est incluse dans le plan (P1)\left(P_{1} \right) ?
Pour cela on résout le système :
(P1∩d1)⇔{x+2y+z+1=0x=−t+1y=2t−1z=−3t+2\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x+2y+z+1=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=2t-1} \\ {z=-3t+2} \end{array}\right. où t∈Rt\in \mathbb{R}
On remplace la valeur de x,yx,y et zz dans le plan (P1)\left(P_{1} \right)
(P1∩d1)⇔{−t+1+2(2t−1)−3t+2+1=0x=−t+1y=2t−1z=−3t+2\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {-t+1+2\left(2t-1\right)-3t+2+1=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=2t-1} \\ {z=-3t+2} \end{array}\right.
(P1∩d1)⇔{−t+1+4t−2−3t+2+1=0x=−t+1y=2t−1z=−3t+2\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {-t+1+4t-2-3t+2+1=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=2t-1} \\ {z=-3t+2} \end{array}\right. équivaut successivement à
(P1∩d1)⇔{0t+2=0x=−t+1y=2t−1z=−3t+2\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {0t+2=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=2t-1} \\ {z=-3t+2} \end{array}\right.
(P1∩d1)⇔{2=0x=−t+1y=2t−1z=−3t+2.\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {2=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=2t-1} \\ {z=-3t+2} \end{array}\right. .
La 11ère ligne : 2=02=0 est une équation impossible.
Cela signifie que le plan et la droite n'ont aucun point d'intersection, le plan et la droite sont donc strictement parallèles.