Déterminer l'intersection entre une droite et un plan - Exercice 3

$$\red{\text{ Etape 1 :}}$$
Soient : $$\overrightarrow{n_{1} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {1} \end{array}\right)$$ un vecteur normal du plan $$\left(P_{1} \right)$$ et $$\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \\ {-3} \end{array}\right)$$ un vecteur directeur de $$\left(d_{1} \right)$$
$$\overrightarrow{n_{1} } \cdot\overrightarrow{u_{1} } =1\times \left(-1\right)+2\times 2+1\times \left(-3\right)=0$$
Donc $$\left(P_{1} \right)$$ et $$\left(d_{1} \right)$$ sont parallèles.
$$\red{\text{ Etape 2 : }}$$
Maintenant, est-ce que la droite $$\left(d_{1} \right)$$ est incluse dans le plan $$\left(P_{1} \right)$$ ?
Pour cela on résout le système :
$$\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x+2y+z+1=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=2t-1} \\ {z=-3t+2} \end{array}\right.$$où $$t\in \mathbb{R}$$
On remplace la valeur de $$x,y$$ et $$z$$ dans le plan $$\left(P_{1} \right)$$
$$\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {-t+1+2\left(2t-1\right)-3t+2+1=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=2t-1} \\ {z=-3t+2} \end{array}\right.$$
$$\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {-t+1+4t-2-3t+2+1=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=2t-1} \\ {z=-3t+2} \end{array}\right.$$ équivaut successivement à
$$\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {0t+2=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=2t-1} \\ {z=-3t+2} \end{array}\right.$$
$$\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {2=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=2t-1} \\ {z=-3t+2} \end{array}\right. .$$
La $$1$$^ère ligne : $$2=0$$ est une équation impossible.
Cela signifie que le plan et la droite n'ont aucun point d'intersection, le plan et la droite sont donc strictement parallèles.