Déterminer l'intersection entre une droite et un plan - Exercice 2

$$\red{\text{ Etape 1 :}}$$
Soient : $$\overrightarrow{n_{1}} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {2} \\ {-1} \end{array}\right)$$ un vecteur normal du plan $$\left(P_{1} \right)$$ et $$\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \\ {11} \end{array}\right)$$ un vecteur directeur de $$\left(d_{1} \right)$$
$$\overrightarrow{n_{1} } \cdot\overrightarrow{u_{1} } =2\times 2+2\times 3+\left(-1\right)\times 11\ne 0$$ .
$$\left(P_{1} \right)$$ et $$\left(d_{1} \right)$$ ne sont pas parallèles, par conséquent ils sont sécants.
$$\red{\text{ Etape 2 : Cherchons le point d'intersection entre le plan et la droite à l'aide du système .}}$$
$$\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {2x+2y-z+1=0} \\ {x=2t-2} \\ {y=3t} \\ {z=11t+3} \end{array}\right.$$où $$t \in \mathbb{R}$$
On remplace la valeur de $$x,y$$ et $$z$$ dans le plan $$\left(P_{1} \right)$$
$$\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {2\left(2t-2\right)+2\times 3t-\left(11t+3\right)+1=0} \\ {x=2t-2} \\ {y=3t} \\ {z=11t+3} \end{array}\right.$$où $$t \in \mathbb{R}$$ équivaut successivement à
$$\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {4t-4+6t-11t-3+1=0} \\ {x=2t-2} \\ {y=3t} \\ {z=11t+3} \end{array}\right.$$où $$t \in \mathbb{R}$$
$$\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {-t-6=0} \\ {x=2t-2} \\ {y=3t} \\ {z=11t+3} \end{array}\right.$$où $$t \in \mathbb{R}$$
Ainsi : $$\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {t=-6} \\ {x=2t-2} \\ {y=3t} \\ {z=11t+3} \end{array}\right.$$ où $$t \in \mathbb{R}$$
Maintenant que nous avons la valeur de $$t$$, on peut obtenir les valeurs de $$x,y$$ et $$z$$ .
$$\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {t=-6} \\ {x=2\times\left(-6\right)-2} \\ {y=3\times\left(-6\right)} \\ {z=11\times\left(-6\right)+3} \end{array}\right.$$
Il en résulte que $$\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {t=-6} \\ {x=-14} \\ {y=-18} \\ {z=-63} \end{array}\right.$$
Les coordonnées du point d'intersection entre la droite et le plan est le point $$\left(-14;-18;-63\right)$$