Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace
Déterminer l'intersection entre une droite et un plan
Exercice 1
Dans l'espace muni d'un repère (0;i;j;k), on considère le plan (P1) et la droite (d1) admettant pour équations respectives : (P1):x+2y−z+3=0 et (d1):⎩⎨⎧xyz===−t+14t+3−3t où t∈R
1
(P1) et (d1) sont-ils sécants ? Si oui, déterminer les coordonnées du ou des points d'intersections ?
Correction
Etape 1 Commencer par vérifier si le plan et la droite ne sont pas parallèles, par conséquent le plan et la droite sont sécants. Etape 2 Il faut résoudre le système constitué de l'écriture paramétrique de la droite (d1) et du plan (P) pour déterminer la valeur de t. Ensuite, on substitue la valeur t dans la droite (d1) pour obtenir les coordonnées du point d'intersection entre le plan et la droite.
Etape 1 : Soient : n1⎝⎛12−1⎠⎞ un vecteur normal du plan (P1) et u1⎝⎛−14−3⎠⎞ un vecteur directeur de (d1) n1⋅u1=1×(−1)+2×4+(−1)×(−3)=0 (P1) et (d1) ne sont pas parallèles, par conséquent (P1) et (d1) sont sécants. Etape 2 : Cherchons le point d’intersection entre le plan et la droite aˋ l’aide du systeˋme . (P1∩d1)⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x+2y−z+3=0x=−t+1y=4t+3z=−3toù t∈R On remplace la valeur de x,y et z dans le plan (P1) (P1∩d1)⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧−t+1+2(4t+3)−(−3t)+3=0x=−t+1y=4t+3z=−3téquivaut successivement à (P1∩d1)⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧−t+1+8t+6+3t+3=0x=−t+1y=4t+3z=−3t (P1∩d1)⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧10t+10=0x=−t+1y=4t+3z=−3t Ainsi : (P1∩d1)⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧t=−1x=−t+1y=4t+3z=−3t Maintenant que nous avons la valeur de t, on peut obtenir les valeurs de x,y et z (P1∩d1)⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧t=−1x=−(−1)+1y=4(−1)+3z=−3(−1) Il en résulte que (P1∩d1)⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧t=−1x=2y=−1z=3 Les coordonnées du point d'intersection entre la droite et le plan est le point (2;−1;3)
Exercice 2
Dans l'espace muni d'un repère (0;i;j;k), on considère le plan (P1) et la droite (d1) admettant pour équations respectives : (P1):2x+2y−z+1=0 et (d1):⎩⎨⎧xyz===2t−23t11t+3 où t∈R
1
(P1) et (d1) sont-ils sécants ? Si oui, déterminer les coordonnées du ou des points d'intersections ?
Correction
Etape 1 Commencer par vérifier si le plan et la droite ne sont pas parallèles, par conséquent le plan et la droite sont sécants. Etape 2 Il faut résoudre le système constitué de l'écriture paramétrique de la droite (d1) et du plan (P) pour déterminer la valeur de t. Ensuite, on substitue la valeur t dans la droite (d1) pour obtenir les coordonnées du point d'intersection entre le plan et la droite.
Etape 1 : Soient : n1⎝⎛22−1⎠⎞ un vecteur normal du plan (P1) et u1⎝⎛2311⎠⎞ un vecteur directeur de (d1) n1⋅u1=2×2+2×3+(−1)×11=0 . (P1) et (d1) ne sont pas parallèles, par conséquent ils sont sécants. Etape 2 : Cherchons le point d’intersection entre le plan et la droite aˋ l’aide du systeˋme . (P1∩d1)⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2x+2y−z+1=0x=2t−2y=3tz=11t+3où t∈R On remplace la valeur de x,y et z dans le plan (P1) (P1∩d1)⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2(2t−2)+2×3t−(11t+3)+1=0x=2t−2y=3tz=11t+3où t∈R équivaut successivement à (P1∩d1)⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧4t−4+6t−11t−3+1=0x=2t−2y=3tz=11t+3où t∈R (P1∩d1)⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧−t−6=0x=2t−2y=3tz=11t+3où t∈R Ainsi : (P1∩d1)⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧t=−6x=2t−2y=3tz=11t+3 où t∈R Maintenant que nous avons la valeur de t, on peut obtenir les valeurs de x,y et z . (P1∩d1)⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧t=−6x=2×(−6)−2y=3×(−6)z=11×(−6)+3 Il en résulte que (P1∩d1)⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧t=−6x=−14y=−18z=−63 Les coordonnées du point d'intersection entre la droite et le plan est le point (−14;−18;−63)
Exercice 3
Dans l'espace muni d'un repère (0;i;j;k), on considère le plan (P1) et la droite (d1) admettant pour équations respectives : (P1):x+2y+z+1=0 et (d1):⎩⎨⎧xyz===−t+12t−1−3t+2 où t∈R
1
(P1) et (d1) sont-ils sécants ? Si oui, déterminer les coordonnées du ou des points d'intersections ?
Correction
Etape 1 Commencer par vérifier si le plan et la droite ne sont pas parallèles, par conséquent le plan et la droite sont sécants. Etape 2 Il faut résoudre le système constitué de l'écriture paramétrique de la droite (d1) et du plan (P) pour déterminer la valeur de t Ensuite, on substitue la valeur t dans la droite (d1) pour obtenir les coordonnées du point d'intersection entre le plan et la droite.
Etape 1 : Soient : n1⎝⎛121⎠⎞ un vecteur normal du plan (P1) et u1⎝⎛−12−3⎠⎞ un vecteur directeur de (d1) n1⋅u1=1×(−1)+2×2+1×(−3)=0 Donc (P1) et (d1) sont parallèles. Etape 2 : Maintenant, est-ce que la droite (d1) est incluse dans le plan (P1) ? Pour cela on résout le système : (P1∩d1)⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x+2y+z+1=0x=−t+1y=2t−1z=−3t+2où t∈R On remplace la valeur de x,y et z dans le plan (P1) (P1∩d1)⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧−t+1+2(2t−1)−3t+2+1=0x=−t+1y=2t−1z=−3t+2 (P1∩d1)⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧−t+1+4t−2−3t+2+1=0x=−t+1y=2t−1z=−3t+2 équivaut successivement à (P1∩d1)⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧0t+2=0x=−t+1y=2t−1z=−3t+2 (P1∩d1)⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2=0x=−t+1y=2t−1z=−3t+2. La 1ère ligne : 2=0 est une équation impossible. Cela signifie que le plan et la droite n'ont aucun point d'intersection, le plan et la droite sont donc strictement parallèles.
Exercice 4
Dans l'espace muni d'un repère (0;i;j;k), on considère le plan (P1) et la droite (d1) admettant pour équations respectives : (P1):4x−y+z−7=0 et (d1):⎩⎨⎧xyz===t+13t−1−t+2 où t∈R
1
(P1) et (d1) sont-ils sécants ? Si oui, déterminer les coordonnées du ou des points d'intersections ?
Correction
Etape 1 Commencer par vérifier si le plan et la droite ne sont pas parallèles, par conséquent le plan et la droite sont sécants. Etape 2 Il faut résoudre le système constitué de l'écriture paramétrique de la droite (d1) et du plan (P) pour déterminer la valeur de t Ensuite, on substitue la valeur t dans la droite (d1) pour obtenir les coordonnées du point d'intersection entre le plan et la droite.
Etape 1 : Soient : n1⎝⎛4−11⎠⎞ un vecteur normal du plan (P1) et u1⎝⎛13−1⎠⎞ un vecteur directeur de (d1) n1⋅u1=1×4+(−1)×3+1×(−1)=0 Donc (P1) et (d1) sont parallèles. Etape 2 : Maintenant, est-ce que la droite (d1) est incluse dans le plan (P1) ? Pour cela on résout le système : (P1∩d1)⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧4x−y+z−7=0x=t+1y=3t−1z=−t+2où t∈R On remplace la valeur de x,y et zdans le plan (P1) (P1∩d1)⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧4(t+1)−(3t−1)+(−t+2)−7=0x=t+1y=3t−1z=−t+2équivaut successivement à (P1∩d1)⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧4t+4−3t+1−t+2−7=0x=t+1y=3t−1z=−t+2 Ainsi (P1∩d1)⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧0=0x=t+1y=3t−1z=−t+2 0=0 est une équation toujours vraie. Cela signifie que la droite est incluse dans le plan.
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