Déterminer l'intersection entre une droite et un plan

$\red{\text{ Etape 1 :}}$
Soient : $\overrightarrow{n_{1}} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {-1} \end{array}\right)$ un vecteur normal du plan $\left(P_{1} \right)$ et $\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {4} \\ {-3} \end{array}\right)$ un vecteur directeur de $\left(d_{1} \right)$
$\overrightarrow{n_{1} } \cdot\overrightarrow{u_{1} } =1\times \left(-1\right)+2\times 4+\left(-1\right)\times \left(-3\right)\ne 0$
$\left(P_{1} \right)$ et $\left(d_{1} \right)$ ne sont pas parallèles, par conséquent $\left(P_{1} \right)$ et $\left(d_{1} \right)$ sont sécants.
$\red{\text{ Etape 2 : Cherchons le point d'intersection entre le plan et la droite à l'aide du système .}}$
$\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x+2y-z+3=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=4t+3} \\ {z=-3t} \end{array}\right.$où $t \in \mathbb{R}$
On remplace la valeur de $x,y$ et $z$ dans le plan $\left(P_{1} \right)$
$\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {-t+1+2\left(4t+3\right)-\left(-3t\right)+3=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=4t+3} \\ {z=-3t} \end{array}\right.$équivaut successivement à
$\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {-t+1+8t+6+3t+3=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=4t+3} \\ {z=-3t} \end{array}\right.$
$\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {10t+10=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=4t+3} \\ {z=-3t} \end{array}\right.$
Ainsi : $\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {t=-1} \\ {x=-t+1} \\ {y=4t+3} \\ {z=-3t} \end{array}\right.$
Maintenant que nous avons la valeur de $t$, on peut obtenir les valeurs de $x,y$ et $z$
$\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {t=-1} \\ {x=-\left(-1\right)+1} \\ {y=4\left(-1\right)+3} \\ {z=-3\left(-1\right)} \end{array}\right.$
Il en résulte que $\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {t=-1} \\ {x=2} \\ {y=-1} \\ {z=3} \end{array}\right.$
Les coordonnées du point d'intersection entre la droite et le plan est le point $\left(2;-1;3\right)$

$\red{\text{ Etape 1 :}}$
Soient : $\overrightarrow{n_{1}} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {2} \\ {-1} \end{array}\right)$ un vecteur normal du plan $\left(P_{1} \right)$ et $\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \\ {11} \end{array}\right)$ un vecteur directeur de $\left(d_{1} \right)$
$\overrightarrow{n_{1} } \cdot\overrightarrow{u_{1} } =2\times 2+2\times 3+\left(-1\right)\times 11\ne 0$ .
$\left(P_{1} \right)$ et $\left(d_{1} \right)$ ne sont pas parallèles, par conséquent ils sont sécants.
$\red{\text{ Etape 2 : Cherchons le point d'intersection entre le plan et la droite à l'aide du système .}}$
$\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {2x+2y-z+1=0} \\ {x=2t-2} \\ {y=3t} \\ {z=11t+3} \end{array}\right.$où $t \in \mathbb{R}$
On remplace la valeur de $x,y$ et $z$ dans le plan $\left(P_{1} \right)$
$\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {2\left(2t-2\right)+2\times 3t-\left(11t+3\right)+1=0} \\ {x=2t-2} \\ {y=3t} \\ {z=11t+3} \end{array}\right.$où $t \in \mathbb{R}$ équivaut successivement à
$\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {4t-4+6t-11t-3+1=0} \\ {x=2t-2} \\ {y=3t} \\ {z=11t+3} \end{array}\right.$où $t \in \mathbb{R}$
$\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {-t-6=0} \\ {x=2t-2} \\ {y=3t} \\ {z=11t+3} \end{array}\right.$où $t \in \mathbb{R}$
Ainsi : $\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {t=-6} \\ {x=2t-2} \\ {y=3t} \\ {z=11t+3} \end{array}\right.$ où $t \in \mathbb{R}$
Maintenant que nous avons la valeur de $t$, on peut obtenir les valeurs de $x,y$ et $z$ .
$\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {t=-6} \\ {x=2\times\left(-6\right)-2} \\ {y=3\times\left(-6\right)} \\ {z=11\times\left(-6\right)+3} \end{array}\right.$
Il en résulte que $\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {t=-6} \\ {x=-14} \\ {y=-18} \\ {z=-63} \end{array}\right.$
Les coordonnées du point d'intersection entre la droite et le plan est le point $\left(-14;-18;-63\right)$

$\red{\text{ Etape 1 :}}$
Soient : $\overrightarrow{n_{1} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {1} \end{array}\right)$ un vecteur normal du plan $\left(P_{1} \right)$ et $\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \\ {-3} \end{array}\right)$ un vecteur directeur de $\left(d_{1} \right)$
$\overrightarrow{n_{1} } \cdot\overrightarrow{u_{1} } =1\times \left(-1\right)+2\times 2+1\times \left(-3\right)=0$
Donc $\left(P_{1} \right)$ et $\left(d_{1} \right)$ sont parallèles.
$\red{\text{ Etape 2 : }}$
Maintenant, est-ce que la droite $\left(d_{1} \right)$ est incluse dans le plan $\left(P_{1} \right)$ ?
Pour cela on résout le système :
$\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x+2y+z+1=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=2t-1} \\ {z=-3t+2} \end{array}\right.$où $t\in \mathbb{R}$
On remplace la valeur de $x,y$ et $z$ dans le plan $\left(P_{1} \right)$
$\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {-t+1+2\left(2t-1\right)-3t+2+1=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=2t-1} \\ {z=-3t+2} \end{array}\right.$
$\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {-t+1+4t-2-3t+2+1=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=2t-1} \\ {z=-3t+2} \end{array}\right.$ équivaut successivement à
$\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {0t+2=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=2t-1} \\ {z=-3t+2} \end{array}\right.$
$\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {2=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=2t-1} \\ {z=-3t+2} \end{array}\right. .$
La $1$^ère ligne : $2=0$ est une équation impossible.
Cela signifie que le plan et la droite n'ont aucun point d'intersection, le plan et la droite sont donc strictement parallèles.

$\red{\text{ Etape 1 : }}$
Soient : $\overrightarrow{n_{1} } \left(\begin{array}{c} {4} \\ {-1} \\ {1} \end{array}\right)$ un vecteur normal du plan $\left(P_{1} \right)$ et $\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {3} \\ {-1} \end{array}\right)$ un vecteur directeur de $\left(d_{1} \right)$
$\overrightarrow{n_{1} } \cdot\overrightarrow{u_{1} } =1\times 4+\left(-1\right)\times 3+1\times \left(-1\right)=0$
Donc $\left(P_{1} \right)$ et $\left(d_{1} \right)$ sont parallèles.
$\red{\text{ Etape 2 : }}$
Maintenant, est-ce que la droite $\left(d_{1} \right)$ est incluse dans le plan $\left(P_{1} \right)$ ?
Pour cela on résout le système :
$\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {4x-y+z-7=0} \\ {x=t+1} \\ {y=3t-1} \\ {z=-t+2} \end{array}\right.$où $t\in \mathbb{R}$
On remplace la valeur de $x,y$ et $z$dans le plan $\left(P_{1} \right)$
$\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {4\left(t+1\right)-\left(3t-1\right)+\left(-t+2\right)-7=0} \\ {x=t+1} \\ {y=3t-1} \\ {z=-t+2} \end{array}\right.$équivaut successivement à
$\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {4t+4-3t+1-t+2-7=0} \\ {x=t+1} \\ {y=3t-1} \\ {z=-t+2} \end{array}\right.$
Ainsi $\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {0=0} \\ {x=t+1} \\ {y=3t-1} \\ {z=-t+2} \end{array}\right.$
$0=0$ est une équation toujours vraie.
Cela signifie que la droite est incluse dans le plan.