Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace

Déterminer l'intersection entre une droite et un plan - Exercice 1

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Dans l'espace muni d'un repère (0;i→;j→;k→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right), on considère le plan (P1)\left(P_{1} \right) et la droite (d1)\left(d_{1} \right) admettant pour équations respectives :
(P1):x+2y−z+3=0\left(P_{1} \right):x+2y-z+3=0 et (d1):{x=−t+1y=4t+3z=−3t\left(d_{1} \right):\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-t+1} \\ {y} & {=} & {4t+3} \\ {z} & {=} & {-3t} \end{array}\right. où t∈Rt\in \mathbb{R}
Question 1

(P1)\left(P_{1} \right) et (d1)\left(d_{1} \right) sont-ils sécants ?
Si oui, déterminer les coordonnées du ou des points d'intersections ?

Correction
Etape 1
Commencer par vérifier si le plan et la droite ne sont pas parallèles, par conséquent le plan et la droite sont sécants.
Etape 2
Il faut résoudre le système constitué de l'écriture paramétrique de la droite (d1)\left(d_{1} \right) et du plan (P)\left(P \right) pour déterminer la valeur de tt.
Ensuite, on substitue la valeur tt dans la droite (d1)\left(d_{1} \right) pour obtenir les coordonnées du point d'intersection entre le plan et la droite.
 Etape 1 :\red{\text{ Etape 1 :}}
Soient : n1→(12−1)\overrightarrow{n_{1}} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {-1} \end{array}\right) un vecteur normal du plan (P1)\left(P_{1} \right) et u1→(−14−3)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {4} \\ {-3} \end{array}\right) un vecteur directeur de (d1)\left(d_{1} \right)
n1→⋅u1→=1×(−1)+2×4+(−1)×(−3)≠0\overrightarrow{n_{1} } \cdot\overrightarrow{u_{1} } =1\times \left(-1\right)+2\times 4+\left(-1\right)\times \left(-3\right)\ne 0
(P1)\left(P_{1} \right) et (d1)\left(d_{1} \right) ne sont pas parallèles, par conséquent (P1)\left(P_{1} \right) et (d1)\left(d_{1} \right) sont sécants.
 Etape 2 : Cherchons le point d’intersection entre le plan et la droite aˋ l’aide du systeˋme .\red{\text{ Etape 2 : Cherchons le point d'intersection entre le plan et la droite à l'aide du système .}}
(P1∩d1)⇔{x+2y−z+3=0x=−t+1y=4t+3z=−3t\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x+2y-z+3=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=4t+3} \\ {z=-3t} \end{array}\right. où t∈Rt \in \mathbb{R}
On remplace la valeur de x,yx,y et zz dans le plan (P1)\left(P_{1} \right)
(P1∩d1)⇔{−t+1+2(4t+3)−(−3t)+3=0x=−t+1y=4t+3z=−3t\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {-t+1+2\left(4t+3\right)-\left(-3t\right)+3=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=4t+3} \\ {z=-3t} \end{array}\right. équivaut successivement à
(P1∩d1)⇔{−t+1+8t+6+3t+3=0x=−t+1y=4t+3z=−3t\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {-t+1+8t+6+3t+3=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=4t+3} \\ {z=-3t} \end{array}\right.
(P1∩d1)⇔{10t+10=0x=−t+1y=4t+3z=−3t\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {10t+10=0} \\ {x=-t+1} \\ {y=4t+3} \\ {z=-3t} \end{array}\right.
Ainsi : (P1∩d1)⇔{t=−1x=−t+1y=4t+3z=−3t\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {t=-1} \\ {x=-t+1} \\ {y=4t+3} \\ {z=-3t} \end{array}\right.
Maintenant que nous avons la valeur de tt, on peut obtenir les valeurs de x,yx,y et zz
(P1∩d1)⇔{t=−1x=−(−1)+1y=4(−1)+3z=−3(−1)\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {t=-1} \\ {x=-\left(-1\right)+1} \\ {y=4\left(-1\right)+3} \\ {z=-3\left(-1\right)} \end{array}\right.
Il en résulte que (P1∩d1)⇔{t=−1x=2y=−1z=3\left(P_{1} \cap d_{1} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {t=-1} \\ {x=2} \\ {y=-1} \\ {z=3} \end{array}\right.
Les coordonnées du point d'intersection entre la droite et le plan est le point (2;−1;3)\left(2;-1;3\right)