Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace

Calculer un produit scalaire de deux vecteurs dans l'espace - Exercice 2

4 min
10
L'espace est muni d'un repère orthonormé (O;i→;j→;k→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right)
On considère les points A(2;1;−1)A\left(2;1;-1\right) ; B(1;4;0)B\left(1;4;0\right) et C(0;3;2)C\left(0;3;2\right) .
Question 1

Montrer que le triangle ABCABC est rectangle en BB .

Correction
Calculons les vecteurs BA→\overrightarrow{BA} et BC→\overrightarrow{BC} .
  • BA→(xA−xByA−yBzA−zB)⇔BA→(2−11−4−1−0)⇔BA→(1−3−1)\overrightarrow{BA} \left(\begin{array}{c} {x_{A} -x_{B} } \\ {y_{A} -y_{B} } \\ {z_{A} -z_{B} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{BA} \left(\begin{array}{c} {2-1 } \\ {1-4 } \\ {-1-0 } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{BA} \left(\begin{array}{c} {1 } \\ {-3 } \\ {-1 } \end{array}\right)
  • BC→(xC−xByC−yBzC−zB)⇔BC→(0−13−42−0)⇔BC→(−1−12)\overrightarrow{BC} \left(\begin{array}{c} {x_{C} -x_{B} } \\ {y_{C} -y_{B} } \\ {z_{C} -z_{B} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{BC} \left(\begin{array}{c} {0-1 } \\ {3-4 } \\ {2-0 } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{BC} \left(\begin{array}{c} {-1 } \\ {-1 } \\ {2 } \end{array}\right)
    • BA→⋅BC→=1×(−1)+(−3)×(−1)+(−1)×2=0\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} =1\times \left(-1\right)+\left(-3\right)\times \left(-1\right)+\left(-1\right)\times 2=0
    Dans ce cas, les vecteurs BA→\overrightarrow{BA} et BC→\overrightarrow{BC} sont orthogonaux.
    Nous venons de montrer que le triangle ABCABC est rectangle en BB .