Une question issue du sujet Métropole 9 septembre 2026 - Exercice 1

10 min
25
Indiquer si l'affirmation suivante est vraie ou fausse en justifiant votre choix.
Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte dans l'évaluation.
Question 1

On lance 3 6003\,600 fois un dé équilibré à six faces numérotées de 11 à 66.
Affirmation : La probabilité que le nombre d'apparitions du 66 soit strictement compris entre 450450 et 750750 est minorée par 0,970{,}97.

Correction
On note XX le nombre d'apparitions du 66.
    Scheˊma de Bernoulli\red{\text{Schéma de Bernoulli}}
  • Si l'on répète nn fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre pp (succès de probabilité pp), la variable aléatoire XX qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale B(n  ;p)\mathcal{B}\left(n\;;p\right).
    • Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli dont le succès « obtenir 66 » a pour probabilité p=16p=\dfrac{1}{6} ; les 3 6003\,600 lancers sont identiques et indépendants : XX suit la loi binomiale de paramètres n=3 600n=3\,600 et p=16p=\dfrac{1}{6}.
      Loi binomiale\red{\text{Loi binomiale}}
  • Si XX suit la loi binomiale B(n  ;p)\mathcal{B}\left(n\;;p\right), alors E(X)=npE\left(X\right)=np et V(X)=np(1−p)V\left(X\right)=np\left(1-p\right).
  • P(X⩽k)P\left(X\leqslant k\right) s'obtient à la calculatrice (fonction de répartition de la loi binomiale).
    • E(X)=3 600×16=600E\left(X\right)=3\,600\times\dfrac{1}{6}=600 et V(X)=3 600×16×56=500V\left(X\right)=3\,600\times\dfrac{1}{6}\times\dfrac{5}{6}=500.
    450<X<750450\lt X\lt 750 équivaut à −150<X−600<150-150\lt X-600\lt 150, c'est-à-dire ∣X−600∣<150\left|X-600\right|\lt 150.
      Ineˊgaliteˊ de Bienaymeˊ-Tchebychev\red{\text{Inégalité de Bienaymé-Tchebychev}}
  • Pour toute variable aléatoire XX et tout réel δ>0\delta>0 : P(∣X−E(X)∣⩾δ)⩽V(X)δ2P\left(\left|X-E\left(X\right)\right|\geqslant\delta\right)\leqslant\dfrac{V\left(X\right)}{\delta^{2}}.
  • Par passage à l'évènement contraire : P(∣X−E(X)∣<δ)⩾1−V(X)δ2P\left(\left|X-E\left(X\right)\right|\lt\delta\right)\geqslant 1-\dfrac{V\left(X\right)}{\delta^{2}}.
    • Avec δ=150\delta=150 :
    P(∣X−600∣<150)⩾1−5001502=1−50022 500=1−145=4445P\left(\left|X-600\right|\lt 150\right)\geqslant 1-\dfrac{500}{150^{2}}=1-\dfrac{500}{22\,500}=1-\dfrac{1}{45}=\dfrac{44}{45}
    Or 4445≈0,978⩾0,97\dfrac{44}{45}\approx 0{,}978\geqslant 0{,}97.
    L'affirmation est vraie : P(450<X<750)⩾4445≈0,978P\left(450\lt X\lt 750\right)\geqslant\dfrac{44}{45}\approx 0{,}978, donc cette probabilité est minorée par 0,970{,}97.

    Signaler une erreur

    Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

    Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.