Une question issue du sujet Métropole 17 juin 2026 - Exercice 1

10 min
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Indiquer si l'affirmation suivante est vraie ou fausse.
Justifier la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Question 1

La proportion de musiciens professionnels au sein de la population active dans le secteur de la culture est estimée à 6,2 %6{,}2\,\%.
On prélève au hasard et de manière indépendante un échantillon de 5 0005\,000 personnes au sein de cette population. La population considérée est assez importante pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
On considère la variable aléatoire XX qui, à tout échantillon ainsi défini, associe le nombre de musiciens professionnels dans l'échantillon.
Affirmation : En appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on peut affirmer qu'il y a plus de 95 %95\,\% de chance que, sur cet échantillon de 5 0005\,000 actifs dans le secteur de la culture, le nombre de musiciens professionnels soit strictement compris entre 230230 et 390390.

Correction
La variable aléatoire XX suit la loi binomiale B(5 000  ;0,062)\mathcal{B}\left(5\,000\;;0{,}062\right) : on répète 5 0005\,000 fois, de manière indépendante, une épreuve de Bernoulli de succès « musicien professionnel », de probabilité 0,0620{,}062.
    Loi binomiale\red{\text{Loi binomiale}}
  • Si XX suit la loi binomiale B(n  ;p)\mathcal{B}\left(n\;;p\right), alors E(X)=npE\left(X\right)=np et V(X)=np(1−p)V\left(X\right)=np\left(1-p\right).
  • P(X⩽k)P\left(X\leqslant k\right) s'obtient à la calculatrice (fonction de répartition de la loi binomiale).
    • E(X)=5 000×0,062=310E\left(X\right)=5\,000\times 0{,}062=310 et V(X)=5 000×0,062×0,938=290,78V\left(X\right)=5\,000\times 0{,}062\times 0{,}938=290{,}78.
    L'intervalle ]230  ;390[\left]230\;;390\right[ est centré en 310310, de demi-amplitude 8080 :
    230<X<390⟺∣X−310∣<80230\lt X\lt 390\Longleftrightarrow\left|X-310\right|\lt 80.
      Ineˊgaliteˊ de Bienaymeˊ-Tchebychev\red{\text{Inégalité de Bienaymé-Tchebychev}}
  • Pour toute variable aléatoire XX et tout réel δ>0\delta>0 : P(∣X−E(X)∣⩾δ)⩽V(X)δ2P\left(\left|X-E\left(X\right)\right|\geqslant\delta\right)\leqslant\dfrac{V\left(X\right)}{\delta^{2}}.
  • Par passage à l'évènement contraire : P(∣X−E(X)∣<δ)⩾1−V(X)δ2P\left(\left|X-E\left(X\right)\right|\lt\delta\right)\geqslant 1-\dfrac{V\left(X\right)}{\delta^{2}}.
    • P(∣X−310∣<80)⩾1−290,78802P\left(\left|X-310\right|\lt 80\right)\geqslant 1-\dfrac{290{,}78}{80^{2}}
    P(230<X<390)⩾1−290,786 400P\left(230\lt X\lt 390\right)\geqslant 1-\dfrac{290{,}78}{6\,400}
    P(230<X<390)⩾0,954 5P\left(230\lt X\lt 390\right)\geqslant 0{,}954\,5 (valeur arrondie par défaut)
    Or 0,954 5>0,950{,}954\,5>0{,}95.
    L'affirmation est vraie : la probabilité est supérieure à 95 %95\,\%.

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