Simuler des échantillons en Python et comparer avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev - Exercice 1

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On lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 11 à 66 et on note XX la variable aléatoire égale au numéro obtenu.
On admet que E(X)=3,5E\left(X\right)=3{,}5 et V(X)=3512V\left(X\right)=\dfrac{35}{12}.
Pour un entier naturel nn non nul, on note MnM_n la variable aléatoire moyenne d'un échantillon de taille nn de la loi de XX : on lance nn fois le dé et on calcule la moyenne des numéros obtenus.
On considère la fonction moyenne\text{moyenne} ci-dessous, écrite en Python. L'instruction randint(1, 6)\text{randint(1, 6)} renvoie un entier choisi au hasard entre 11 et 66.
Question 1

Quel rôle joue la fonction moyenne\text{moyenne} ?

Correction
Au départ, la variable s\text{s} vaut 00.
La boucle for\text{for} est répétée nn fois : à chaque passage, l'instruction randint(1, 6)\text{randint(1, 6)} simule un lancer du dé et le numéro obtenu est ajouté à s\text{s}.
À la fin de la boucle, s\text{s} contient la somme des nn numéros obtenus, et la fonction renvoie s / n\text{s / n}, c'est-à-dire leur moyenne.
La fonction moyenne\text{moyenne} simule un échantillon de taille nn de la loi de XX et renvoie sa moyenne : c'est une valeur prise par MnM_n.
Question 2

On a exécuté trois fois la fonction moyenne\text{moyenne} et on a obtenu les résultats ci-dessous.
Pourquoi les résultats sont-ils différents ? Autour de quelle valeur semblent-ils se placer ?

Correction
Chaque appel de la fonction simule de nouveaux lancers au hasard : les échantillons obtenus sont différents, donc leurs moyennes aussi.
Les résultats obtenus, 3,393{,}39 et 3,593{,}59 pour 100100 lancers, puis 3,4833{,}483 pour 1 0001\,000 lancers, sont proches de 3,53{,}5, c'est-à-dire de E(X)E\left(X\right).
    La loi des grands nombres\red{\text{La loi des grands nombres}}
Soit MnM_n la variable aléatoire moyenne d'un échantillon de taille nn d'une variable aléatoire XX d'espérance E(X)E\left(X\right).
Pour tout réel strictement positif α\alpha, on a :
lim⁡n→+∞P(∣Mn−E(X)∣≥α)=0\displaystyle\lim_{n\to+\infty}P\left(\left|M_n-E\left(X\right)\right|\ge \alpha \right)=0
Les moyennes obtenues se placent autour de E(X)=3,5E\left(X\right)=3{,}5 : c'est ce qu'annonce la loi des grands nombres.
Question 3

Déterminer E(M100)E\left(M_{100}\right) et V(M100)V\left(M_{100}\right).

Correction
    Moyenne d’un eˊchantillon\red{\text{Moyenne d'un échantillon}}
  • Soit MnM_n la variable aléatoire moyenne d'un échantillon de taille nn d'une variable aléatoire XX. On a : E(Mn)=E(X)E\left(M_n\right)=E\left(X\right) et V(Mn)=V(X)nV\left(M_n\right)=\dfrac{V\left(X\right)}{n}
    • On peut noter que E(X)=3,5E\left(X\right)=3{,}5 et V(X)=3512V\left(X\right)=\dfrac{35}{12}.
    E(M100)=E(X)E\left(M_{100}\right)=E\left(X\right)
    E(M100)=3,5E\left(M_{100}\right)=3{,}5

    V(M100)=V(X)100=3512×1100=351 200V\left(M_{100}\right)=\dfrac{V\left(X\right)}{100}=\dfrac{35}{12}\times \dfrac{1}{100}=\dfrac{35}{1\,200}
    V(M100)=7240V\left(M_{100}\right)=\dfrac{7}{240}
    Question 4

    À l'aide de l'inégalité de concentration, majorer P(∣M100−3,5∣≥0,5)P\left(\left|M_{100}-3{,}5\right|\ge 0{,}5\right). Interpréter le résultat.

    Correction
      L’ineˊgaliteˊ de concentration\red{\text{L'inégalité de concentration}}
    Soit XX la variable aléatoire d'espérance E(X)E\left(X\right) et de variance V(X)V\left(X\right).
    Soit MnM_n la variable aléatoire moyenne d'un échantillon de taille nn de la variable aléatoire XX.
    Pour tout réel strictement positif α\alpha , on a :
    P(∣Mn−E(X)∣≥α)≤V(X)nα2P\left(\left|M_n-E\left(X\right)\right|\ge \alpha \right)\le \dfrac{V\left(X\right)}{n{\alpha }^2}
    Si α=0,5\alpha =0{,}5 et en utilisant l'inégalité de concentration, on a :
    P(∣M100−3,5∣≥0,5)≤3512×1100×0,52P\left(\left|M_{100}-3{,}5\right|\ge 0{,}5\right)\le \dfrac{35}{12}\times \dfrac{1}{100\times 0{,}5^2}
    P(∣M100−3,5∣≥0,5)≤3512×125P\left(\left|M_{100}-3{,}5\right|\ge 0{,}5\right)\le \dfrac{35}{12}\times \dfrac{1}{25}
    D'où :
    P(∣M100−3,5∣≥0,5)≤760P\left(\left|M_{100}-3{,}5\right|\ge 0{,}5\right)\le \dfrac{7}{60}

    La probabilité que la moyenne de 100100 lancers s'écarte de 3,53{,}5 d'au moins 0,50{,}5 est donc au plus égale à 760\dfrac{7}{60}, soit environ 11,7 %11{,}7\,\%.

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