Polynésie Sujet 2 - 17 juin 2026 - Exercice 1

45 min
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Dans cet exercice, on s'intéresse à la part des filles et des garçons s'orientant vers des études scientifiques après avoir suivi un enseignement de spécialité mathématiques en terminale.
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A
Dans une académie donnée, la population est constituée d'élèves de terminale ayant choisi la spécialité mathématiques. On souhaite analyser leurs choix d'orientation, notamment vers les études supérieures en ingénierie.
Les répartitions sont les suivantes :
  • 40 %40\,\% sont des filles ; 60 %60\,\% sont des garçons ;
  • parmi les filles, 33,75 %33{,}75\,\% envisagent des études d'ingénieur ;
  • parmi les garçons, 54,25 %54{,}25\,\% envisagent des études d'ingénieur.
    • On interroge uniformément au hasard un élève de terminale ayant choisi la spécialité mathématiques de cette académie et on considère les évènements suivants :
  • FF : « L'élève est une fille » ;
  • II : « L'élève envisage des études d'ingénieur ».
    • Pour un évènement EE quelconque, on note E‾\overline{E} l'évènement contraire et P(E)P\left(E\right) la probabilité de EE.
    Question 1

    Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.

    Correction
  • 40 %40\,\% des élèves sont des filles se traduit par P(F)=0,4P\left(F\right)=0{,}4 et donc P(F‾)=1−0,4=0,6P\left(\overline{F}\right)=1-0{,}4=0{,}6 ;
  • parmi les filles, 33,75 %33{,}75\,\% envisagent des études d'ingénieur se traduit par PF(I)=0,3375P_{F}\left(I\right)=0{,}3375 ;
  • parmi les garçons, 54,25 %54{,}25\,\% envisagent des études d'ingénieur se traduit par PF‾(I)=0,5425P_{\overline{F}}\left(I\right)=0{,}5425.
    • La somme des probabilités issues d'un même nœud est égale à 11.
    Ainsi :
    PF(I‾)=1−PF(I)=1−0,3375=0,6625P_{F}\left(\overline{I}\right)=1-P_{F}\left(I\right)=1-0{,}3375=0{,}6625
    PF‾(I‾)=1−PF‾(I)=1−0,5425=0,4575P_{\overline{F}}\left(\overline{I}\right)=1-P_{\overline{F}}\left(I\right)=1-0{,}5425=0{,}4575
    Ce qui nous donne :
    Question 2

    Calculer la probabilité que l'élève choisi au hasard soit une fille envisageant des études d'ingénieur.

    Correction
    La probabilité que l'élève choisi soit une fille et{\color{blue}{\text{et}}} qu'il envisage des études d'ingénieur se traduit par P(F∩I)P\left(F\cap I\right).
    Pour calculer la probabilité P(F∩I)P\left(F\cap I\right) il nous suffit de faire le produit des probabilités des branches passant par le chemin FF puis par II.
    Ainsi :
    P(F∩I)=P(F)×PF(I)P\left(F\cap I\right)=P\left(F\right)\times P_{F}\left(I\right)
    P(F∩I)=0,4×0,3375P\left(F\cap I\right)=0{,}4\times 0{,}3375
    D'où :
    P(F∩I)=0,135P\left(F\cap I\right)=0{,}135
    Question 3

    Démontrer que la probabilité que l'élève choisi au hasard envisage des études d'ingénieur est égale à 0,46050{,}4605.

    Correction
    P(I)P\left(I\right) est la probabilité des chemins qui arrivent en II.
      Formule des probabiliteˊs totales\red{\text{Formule des probabilités totales}}
  • Les évènements FF et F‾\overline{F} forment une partition de l'univers, donc : P(I)=P(F∩I)+P(F‾∩I)P\left(I\right)=P\left(F\cap I\right)+P\left(\overline{F}\cap I\right)
    • Cela se traduit par :
    P(I)=P(F∩I)+P(F‾∩I)P\left(I\right)=P\left(F\cap I\right)+P\left(\overline{F}\cap I\right)
    P(I)=P(F∩I)+P(F‾)×PF‾(I)P\left(I\right)=P\left(F\cap I\right)+P\left(\overline{F}\right)\times P_{\overline{F}}\left(I\right)
    P(I)=0,135+0,6×0,5425P\left(I\right)=0{,}135+0{,}6\times 0{,}5425
    P(I)=0,135+0,3255P\left(I\right)=0{,}135+0{,}3255
    Ainsi :
    P(I)=0,4605P\left(I\right)=0{,}4605
    Question 4

    L'élève interrogé envisage des études d'ingénieur. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'une fille ?
    Donner une valeur approchée du résultat à 10−310^{-3} près.

    Correction
    Il s'agit ici d'une forme avec un « sachant », c'est-à-dire une probabilité conditionnelle.
    On pourrait traduire la question de la manière suivante : sachant{\color{blue}{\text{sachant}}} que l'élève envisage des études d'ingénieur, quelle est la probabilité que ce soit une fille ?
    Cela se traduit par PI(F)P_{I}\left(F\right).
      Pour un évènement BB de probabilité non nulle et un évènement AA :
  • PB(A)=P(A∩B)P(B)P_{B}\left(A\right)=\dfrac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}
    • Il vient alors que :
    PI(F)=P(F∩I)P(I)P_{I}\left(F\right)=\dfrac{P\left(F\cap I\right)}{P\left(I\right)}
    PI(F)=0,1350,4605P_{I}\left(F\right)=\dfrac{0{,}135}{0{,}4605}
    D'où :
    PI(F)≈0,293P_{I}\left(F\right)\approx 0{,}293

    Sachant que l'élève envisage des études d'ingénieur, la probabilité que ce soit une fille est d'environ 0,2930{,}293.
    Question 5
    Partie B
    Dans cette partie, on considère un entier naturel nn non nul.
    On interroge uniformément au hasard dans cette académie nn filles en terminale, qu'elles suivent ou non la spécialité mathématiques. On suppose que ce nombre de filles est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à des tirages indépendants avec remise.
    On note XX la variable aléatoire qui modélise le nombre de filles envisageant de devenir ingénieure qu'elle suive ou non la spécialité mathématiques.
    On admet que la probabilité qu'une fille souhaite devenir ingénieure est égale à 0,150{,}15.

    Justifier que XX suit une loi binomiale.

    Correction
    • On répète nn fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre pp (épreuve à deux issues : succès de probabilité pp, échec de probabilité 1−p1-p).
    • La variable aléatoire qui compte le nombre de succès suit alors la loi binomiale de paramètres nn et pp, notée B(n  ;p)\mathcal{B}\left(n\;;p\right).
  • L'épreuve consiste à interroger une fille : elle a deux issues, le succès S\red{S} : « la fille souhaite devenir ingénieure », de probabilité p=0,15\red{p=0{,}15}, et l'échec S‾\overline{S}, de probabilité 1−0,15=0,851-0{,}15=0{,}85. C'est une épreuve de Bernoulli de paramètre 0,150{,}15.
  • Le prélèvement est assimilé à des tirages indépendants avec remise : on répète n\blue{n} fois cette épreuve, de façon identique et indépendante.
  • XX compte le nombre de succès, c'est-à-dire le nombre de filles qui souhaitent devenir ingénieure.
    • Il en résulte que :
    XX suit la loi binomiale B(n  ;0,15)\mathcal{B}\left(\blue{n}\;;\red{0{,}15}\right).
    Question 6

    Exprimer en fonction de nn l'espérance de XX.

    Correction
    • Si XX suit la loi binomiale B(n  ;p)\mathcal{B}\left(n\;;p\right), alors son espérance est E(X)=n×pE\left(X\right)=n\times p.
    D'après la question précédente, XX suit la loi binomiale B(n  ;0,15)\mathcal{B}\left(n\;;0{,}15\right). Ainsi :
    E(X)=n×0,15E\left(X\right)=n\times 0{,}15
    Ainsi :
    E(X)=0,15nE\left(X\right)=0{,}15n
    Question 7

    En résolvant une inéquation, déterminer le plus petit nombre de lycéennes qu'il faut interroger pour que la probabilité de l'évènement « Au moins une fille parmi celles interrogées souhaite devenir ingénieure » soit supérieure ou égale à 0,990{,}99.

    Correction
    L'évènement « Au moins une fille parmi celles interrogées souhaite devenir ingénieure » se traduit par X⩾1X\geqslant 1. Son évènement contraire est X=0X=0 : « aucune fille ne souhaite devenir ingénieure ».
    • Si XX suit la loi binomiale B(n  ;p)\mathcal{B}\left(n\;;p\right), alors pour tout entier kk compris entre 00 et nn : P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP\left(X=k\right)=\dbinom{n}{k}p^{k}\left(1-p\right)^{n-k}.
    • En particulier : P(X=0)=(1−p)nP\left(X=0\right)=\left(1-p\right)^{n}.
    Ainsi : P(X⩾1)=1−P(X=0)=1−0,85nP\left(X\geqslant 1\right)=1-P\left(X=0\right)=1-0{,}85^{n}
    Il nous faut donc résoudre l'inéquation 1−0,85n⩾0,991-0{,}85^{n}\geqslant 0{,}99, qui équivaut successivement à :
    −0,85n⩾0,99−1-0{,}85^{n}\geqslant 0{,}99-1
    0,85n⩽0,010{,}85^{n}\leqslant 0{,}01
    ln⁡(0,85n)⩽ln⁡(0,01)\ln\left(0{,}85^{n}\right)\leqslant \ln\left(0{,}01\right) (la fonction ln⁡\ln est strictement croissante sur ]0  ;+∞[\left]0\;;+\infty\right[)
    nln⁡(0,85)⩽ln⁡(0,01)n\ln\left(0{,}85\right)\leqslant \ln\left(0{,}01\right)
    n⩾ln⁡(0,01)ln⁡(0,85)n\geqslant \dfrac{\ln\left(0{,}01\right)}{\ln\left(0{,}85\right)} (on divise par ln⁡(0,85)\ln\left(0{,}85\right) qui est strictement négatif car 0,85<10{,}85\lt 1 : on change le sens de l'inégalité)
    Or ln⁡(0,01)ln⁡(0,85)≈28,34\dfrac{\ln\left(0{,}01\right)}{\ln\left(0{,}85\right)}\approx 28{,}34 et nn est un entier naturel : le plus petit entier qui convient est n=29n=29.
    Vérification : 1−0,8528≈0,98941-0{,}85^{28}\approx 0{,}9894 et 1−0,8529≈0,99101-0{,}85^{29}\approx 0{,}9910.
    Ainsi :
    Il faut interroger au moins 2929 lycéennes.
    Question 8

    Dans cette question, on choisit un échantillon de n=29n=29 filles.
    Déterminer la probabilité qu'au moins le quart des filles interrogées souhaite devenir ingénieure.
    Donner une valeur approchée du résultat à 10−310^{-3} près.

    Correction
    Ici XX suit la loi binomiale B(29  ;0,15)\mathcal{B}\left(29\;;0{,}15\right).
    Le quart des 2929 filles interrogées correspond à 294=7,25\dfrac{29}{4}=7{,}25 filles.
    « Au moins le quart des filles interrogées souhaite devenir ingénieure » se traduit par X⩾7,25X\geqslant 7{,}25, c'est-à-dire X⩾8X\geqslant 8 car XX ne prend que des valeurs entières.
    On passe par l'évènement contraire X⩽7X\leqslant 7 :
    P(X⩾8)=1−P(X⩽7)P\left(X\geqslant 8\right)=1-P\left(X\leqslant 7\right)
    À la calculatrice (loi binomiale cumulée de paramètres n=29n=29 et p=0,15p=0{,}15) : P(X⩽7)≈0,9414P\left(X\leqslant 7\right)\approx 0{,}9414.
    P(X⩾8)≈1−0,9414P\left(X\geqslant 8\right)\approx 1-0{,}9414
    Ainsi :
    P(X⩾8)≈0,059P\left(X\geqslant 8\right)\approx 0{,}059
    Question 9
    Partie C
    On s'intéresse à dix académies françaises de tailles comparables numérotées de 11 à 1010.
    On considère X1X_1 la variable aléatoire qui, à un échantillon de 1  5001\;500 lycéennes de l'académie n° 11, associe le nombre de filles envisageant de devenir ingénieure.
    On définit de la même façon les variables aléatoires X2,…,X10X_2, \ldots, X_{10} pour les académies 22 à 1010.
    On admet que les variables aléatoires X1,X2,…,X10X_1, X_2, \ldots, X_{10} sont indépendantes entre elles et qu'elles admettent la même espérance égale à 225225 et la même variance égale à 191,25191{,}25.
    On considère la variable aléatoire S=X1+X2+⋯+X10S=X_1+X_2+\cdots+X_{10}.

    Que représente la variable aléatoire SS pour les 15  00015\;000 lycéennes interrogées sur l'ensemble des dix académies ?

    Correction
    Pour chaque académie kk (de 11 à 1010), XkX_k est le nombre de filles envisageant de devenir ingénieure parmi les 1  5001\;500 lycéennes interrogées dans cette académie.
    En additionnant ces dix nombres, on obtient le nombre total de filles envisageant de devenir ingénieure parmi les 10×1  500=15  00010\times 1\;500=15\;000 lycéennes interrogées.
    SS est le nombre total de filles envisageant de devenir ingénieure parmi les 15  00015\;000 lycéennes interrogées sur l'ensemble des dix académies.
    Question 10

    Calculer l'espérance et la variance de SS.

    Correction
    Calcul de l’espeˊrance :\red{\text{Calcul de l'espérance :}}
      Pour toutes variables aléatoires XX et YY :
  • E(X+Y)=E(X)+E(Y)E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)
    • D'après la linéarité de l'espérance :
    E(S)=E(X1)+E(X2)+⋯+E(X10)E\left(S\right)=E\left(\blue{X_1}\right)+E\left(\green{X_2}\right)+\cdots+E\left(\pink{X_{10}}\right)
    E(S)=10×225E\left(S\right)=10\times 225
    Ainsi :
    E(S)=2  250E\left(S\right)=2\;250

    Calcul de la variance :\red{\text{Calcul de la variance :}}
      Soient XX et YY deux variables aléatoires indeˊpendantes\red{\text{indépendantes}}, on a :
  • V(X+Y)=V(X)+V(Y)V\left(X+Y\right)=V\left(X\right)+V\left(Y\right)
    • Les variables aléatoires X1,X2,…,X10X_1, X_2, \ldots, X_{10} sont indépendantes entre elles, donc :
    V(S)=V(X1)+V(X2)+⋯+V(X10)V\left(S\right)=V\left(\blue{X_1}\right)+V\left(\green{X_2}\right)+\cdots+V\left(\pink{X_{10}}\right)
    V(S)=10×191,25V\left(S\right)=10\times 191{,}25
    Ainsi :
    V(S)=1  912,5V\left(S\right)=1\;912{,}5
    Question 11

    On considère l'ensemble des 15  00015\;000 lycéennes formé par les échantillons issus des dix académies.
    Argumenter pour dire si l'affirmation suivante est vraie, fausse ou si on ne peut pas savoir : « La probabilité que le nombre total de filles envisageant de devenir ingénieure soit strictement compris entre 2  0002\;000 et 2  5002\;500 est supérieure à 0,950{,}95 ».

    Correction
    Dire que le nombre total de filles envisageant de devenir ingénieure est strictement compris entre 2  0002\;000 et 2  5002\;500 revient à dire que : 2  000<S<2  5002\;000\lt S\lt 2\;500.
    Écrivons cette inégalité à l'aide d'une valeur absolue.
    Pour tous nombres réels aa et rr, avec rr un réel positif alors :
    • ∣x−a∣<r\left|x-{\color{red}a}\right|\lt {\color{blue}r} est équivalent à x∈]a−r  ;a+r[x\in \left]{\color{red}a}-{\color{blue}r}\;;{\color{red}a}+{\color{blue}r}\right[
    Premieˋre eˊtape :\red{\text{Première étape :}} Calcul du centre a{\color{red}a}
    a=2  000+2  5002=2  250{\color{red}a}=\dfrac{2\;000+2\;500}{2}=2\;250 : c'est exactement l'espérance E(S)E\left(S\right).
    Deuxieˋme eˊtape :\red{\text{Deuxième étape :}} Calcul du rayon r{\color{blue}r}
    r=2  500−2  250=250{\color{blue}r}=2\;500-2\;250=250
    Ainsi : 2  000<S<2  5002\;000\lt S\lt 2\;500 équivaut à ∣S−2  250∣<250\left|S-2\;250\right|\lt 250.
      L’ineˊgaliteˊ de Bienaymeˊ-Tchebychev\red{\text{L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev}}
  • Soit XX une variable aléatoire d'espérance E(X){\color{blue}{E\left(X\right)}} et de variance V(X){\color{red}{V\left(X\right)}} et soit a{\color{green}{a}} un nombre réel strictement positif. On a alors : P(∣X−E(X)∣⩾a)⩽V(X)a2P\left(\left|X-{\color{blue}{E\left(X\right)}}\right|\geqslant {\color{green}{a}}\right)\leqslant \dfrac{{\color{red}{V\left(X\right)}}}{{\color{green}{a}}^{2}}
    • On applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à la variable aléatoire SS, avec E(S)=2  250E\left(S\right)=2\;250, V(S)=1  912,5V\left(S\right)=1\;912{,}5 et a=250{\color{green}{a}}=250 :
    P(∣S−2  250∣⩾250)⩽1  912,52502P\left(\left|S-2\;250\right|\geqslant 250\right)\leqslant \dfrac{1\;912{,}5}{250^{2}}
    P(∣S−2  250∣⩾250)⩽0,0306P\left(\left|S-2\;250\right|\geqslant 250\right)\leqslant 0{,}0306
    En passant à l'évènement contraire :
    P(∣S−2  250∣<250)=1−P(∣S−2  250∣⩾250)⩾1−0,0306P\left(\left|S-2\;250\right|\lt 250\right)=1-P\left(\left|S-2\;250\right|\geqslant 250\right)\geqslant 1-0{,}0306
    P(2  000<S<2  500)⩾0,9694P\left(2\;000\lt S\lt 2\;500\right)\geqslant 0{,}9694
    Or 0,9694>0,950{,}9694\gt 0{,}95.
    L'affirmation est vraie : la probabilité que le nombre total de filles envisageant de devenir ingénieure soit strictement compris entre 2  0002\;000 et 2  5002\;500 est supérieure à 0,950{,}95.

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