Mise en application : l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev - Exercice 2

Si $$7<M_N<7,28$$ alors $$M_N \in\left]7;7,28\right[$$
Il va être important ici de déterminer la valeur de $$a$$ et de $$r$$ .
$${\color{red}a}$$ correspond au centre de l'intervalle en question c'est à dire le centre de l'intervalle $$\left]7;7,28\right[$$ .
$$\red{\text{Première étape :}}$$ Calcul du centre $${\color{red}a}$$
$${\color{red}a}=\frac{7+7,28}{2}$$
$${\color{red}a}=\frac{14,28}{2}$$

$$\red{\text{Deuxième étape :}}$$ Calcul de $${\color{blue}r}$$ qui correspond au rayon de l'intervalle $$\left]7;7,28\right[$$
Pour cela nous allons calculer la distance entre $$7$$ et $$7,28$$ et ensuite on divisera le résultat par $$2$$ . Nous obtiendrons ainsi le rayon de l'intervalle $$\left]7;7,28\right[$$ .
La distance entre $$7$$ et $$7,28$$ vaut :
$$\left|7-7,28\right|=\left|-0,28\right|=0,28$$
Finalement, la distance entre $$7$$ et $$7,28$$ vaut $$2$$.
Le rayon $${\color{blue}r}$$ de l'intervalle $$\left]7;7,28\right[$$ est alors $${\color{blue}r}=\frac{0,28}{2}$$ c'est à dire
Il en résulte donc que :
$$M_N\in\left]7;7,28\right[$$ est équivalent à $$\left|M_N-{\color{red}7,14}\right|\le {\color{blue}0,14}$$

Dans un premiet temps, nous pouvons écrire que : $$P\left(7<M_N<7,28\right)=P\left(\left|M_N-{\color{blue}7,14}\right|\le {\color{green}0,14}\right)$$
D'après l'inégalité Bienaymé-Tchebychev :
$$P\left(\left|M_N-{\color{blue}7,14}\right|\le {\color{green}0,14}\right)\geqslant 1-\frac{{\color{red}{\frac{6,63}{N}}}}{{\color{green}{0,14}}^2}$$
Or nous cherchons la plus petite valeur de $$N$$ telle que : $$P\left(7<M_N<7,28\right) \geqslant 0,95$$
On veut donc que :
$$1-\frac{{\color{red}{\frac{6,63}{N}}}}{{\color{green}{0,14}}^2}\geqslant 0,95$$
$$1-\frac{6,63}{0,14^2N}\geqslant 0,95$$
$$-\frac{6,63}{0,14^2N}\geqslant 0,95-1$$
$$-\frac{6,63}{0,14^2N}\geqslant -0,05$$
$$\frac{6,63}{0,14^2N}\leqslant 0,05$$ (ici on multiplié par $$-1$$ et donc on change le sens de l'inégalité)
$$\frac{6,63}{0,14^2N}\leqslant \frac{0,05}{1}$$
On compose par la foncion inverse strictement décroissante sur $$\left]0;+\infty\right[$$ donc le sens de l'inégalité changera.
$$\frac{N \times 0,14^2}{6,63} \geqslant \frac{1}{0,05}$$
$$N \times 0,14^2 \geqslant \frac{1\times6,63}{0,05}$$
$$N \times 0,14^2 \geqslant \frac{6,63}{0,05}$$
$$N \geqslant \frac{6,63}{0,05\times 0,14^2}$$
Or : $$\frac{6,63}{0,05\times 0,14^2}\approx 6765,3$$
D'où :
La plus petite valeur de $$N$$ pour laquelle l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d'affirmer que $$P\left(7<M_N<7,28\right) \geqslant 0,95$$ est $$6$$ $$766$$ .