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Mise en application : l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev - Exercice 1

5 min
20
On considère la variable aléatoire SS d'espérance E(S)=10E\left(S\right)=10 et de variance V(S)=8,2665V\left(S\right)=8,2665 .
Question 1

Ecrire l'inégalité 6<S<146<S<14 en utilisant une valeur absolue.

Correction
Si 6<S<146<S<14 alors S∈]6;14[S \in\left]6;14\right[
Pour tous nombres réels aa et rr , avec rr un réel positif alors :
  • ∣x−a∣<r\left|x-{\color{red}a}\right|< {\color{blue}r} est équivalent à x∈]a−r;a+r[x\in \left]{\color{red}a}-{\color{blue}r};{\color{red}a}+{\color{blue}r}\right[
Il va être important ici de déterminer la valeur de aa et de rr .
a{\color{red}a} correspond au centre de l'intervalle en question c'est à dire le centre de l'intervalle ]6;14[\left]6;14\right[ .
Premieˋre eˊtape :\red{\text{Première étape :}} Calcul du centre a{\color{red}a}
a=6+142{\color{red}a}=\frac{6+14}{2}
a=202{\color{red}a}=\frac{20}{2}
a=10{\color{red}a}=10

Deuxieˋme eˊtape :\red{\text{Deuxième étape :}} Calcul de r{\color{blue}r} qui correspond au rayon de l'intervalle ]6;14[\left]6;14\right[
Pour cela nous allons calculer la distance entre 66 et 1414 et ensuite on divisera le résultat par 22 . Nous obtiendrons ainsi le rayon de l'intervalle ]6;14[\left]6;14\right[ .
  • La distance entre deux nombres réels aa et bb est égale à ∣a−b∣\left|a-b\right|
  • La distance entre deux nombres réels bb et aa est égale à ∣b−a∣\left|b-a\right|
Ainsi la distance entre aa et bb et la même qu'entre bb et aa.
La distance entre 66 et 1414 vaut :
∣6−14∣=∣−8∣=8\left|6-14\right|=\left|-8\right|=8
Finalement, la distance entre 66 et 1414 vaut 88.
Le rayon r{\color{blue}r} de l'intervalle ]6;14[\left]6;14\right[ est alors r=82{\color{blue}r}=\frac{8}{2} c'est à dire
r=4{\color{blue}r}=4

Il en résulte donc que :
S∈]6;14[S\in\left]6;14\right[ est équivalent à ∣S−10∣≤4\left|S-{\color{red}10}\right|\le {\color{blue}4}
Question 2

Démontrer que P(∣S−10∣<4)>0,48P(|S-10|<4)>0,48

Correction
    L’ineˊgaliteˊ de Bienaymeˊ-Tchebychev\red{\text{L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev}}
  • Soit XX une variable aléatoire d'espérance E(X){\color{blue}{E\left(X\right)}} et de variance V(X){\color{red}{V\left(X\right)}} et soit a{\color{green}{a}} un nombre réel strictement positif.
    On a alors : P(∣X−E(X)∣≥a)≤V(X)a2⟺P(∣X−E(X)∣<a)⩾1−V(X)a2P\left(\left|X-{\color{blue}{E\left(X\right)}}\right|\ge {\color{green}{a}}\right)\le \frac{{\color{red}{V\left(X\right)}}}{{\color{green}{a}}^{2} } \Longleftrightarrow P\left(\left|X-{\color{blue}{E\left(X\right)}}\right|< {\color{green}{a}}\right) \geqslant 1-\frac{{\color{red}{V\left(X\right)}}}{{\color{green}{a}}^2}
    • D'après le rappel nous savons que :
    P(∣X−E(X)∣<a)⩾1−V(X)a2P\left(\left|X-{\color{blue}{E\left(X\right)}}\right|< {\color{green}{a}}\right) \geqslant 1-\frac{{\color{red}{V\left(X\right)}}}{{\color{green}{a}}^2}
    Dans notre situation, on peut écire que :
    P(∣S−10∣<4)⩾1−8,266542P\left(\left|S-{\color{blue}{10}}\right|< {\color{green}{4}}\right) \geqslant 1-\frac{{\color{red}{8,2665}}}{{\color{green}{4}}^2}
    Or 1−8,266542≈0,48331-\frac{{\color{red}{8,2665}}}{{\color{green}{4}}^2}\approx 0,4833 .
    Il en résulte donc que
    P(∣S−10∣<4)>0,48P(|S-10|<4)>0,48

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