Mise en application : l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev - Exercice 1

Si $$6<S<14$$ alors $$S \in\left]6;14\right[$$
Il va être important ici de déterminer la valeur de $$a$$ et de $$r$$ .
$${\color{red}a}$$ correspond au centre de l'intervalle en question c'est à dire le centre de l'intervalle $$\left]6;14\right[$$ .
$$\red{\text{Première étape :}}$$ Calcul du centre $${\color{red}a}$$
$${\color{red}a}=\frac{6+14}{2}$$
$${\color{red}a}=\frac{20}{2}$$

$$\red{\text{Deuxième étape :}}$$ Calcul de $${\color{blue}r}$$ qui correspond au rayon de l'intervalle $$\left]6;14\right[$$
Pour cela nous allons calculer la distance entre $$6$$ et $$14$$ et ensuite on divisera le résultat par $$2$$ . Nous obtiendrons ainsi le rayon de l'intervalle $$\left]6;14\right[$$ .
La distance entre $$6$$ et $$14$$ vaut :
$$\left|6-14\right|=\left|-8\right|=8$$
Finalement, la distance entre $$6$$ et $$14$$ vaut $$8$$.
Le rayon $${\color{blue}r}$$ de l'intervalle $$\left]6;14\right[$$ est alors $${\color{blue}r}=\frac{8}{2}$$ c'est à dire
Il en résulte donc que :
$$S\in\left]6;14\right[$$ est équivalent à $$\left|S-{\color{red}10}\right|\le {\color{blue}4}$$

D'après le rappel nous savons que :
$$P\left(\left|X-{\color{blue}{E\left(X\right)}}\right|< {\color{green}{a}}\right) \geqslant 1-\frac{{\color{red}{V\left(X\right)}}}{{\color{green}{a}}^2}$$
Dans notre situation, on peut écire que :
$$P\left(\left|S-{\color{blue}{10}}\right|< {\color{green}{4}}\right) \geqslant 1-\frac{{\color{red}{8,2665}}}{{\color{green}{4}}^2}$$
Or $$1-\frac{{\color{red}{8,2665}}}{{\color{green}{4}}^2}\approx 0,4833$$ .
Il en résulte donc que