Mesurer les écarts en écarts types avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev - Exercice 1

On peut noter que $${\color{blue}{E\left(X\right)=\mu}}$$ et $${\color{red}{V\left(X\right)=\sigma^{2}}}$$.À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, avec $${\color{green}{a=2\sigma}}$$ qui est strictement positif, on peut écrire que :
$$P\left(\left|X-{\color{blue}{\mu}}\right|\ge {\color{green}{2\sigma}}\right)\le \dfrac{{\color{red}{\sigma^{2}}}}{\left({\color{green}{2\sigma}}\right)^{2} }$$
$$P\left(\left|X-\mu\right|\ge 2\sigma\right)\le \dfrac{\sigma^{2}}{4\sigma^{2}}$$
D'où :La probabilité que $$X$$ s'écarte de son espérance d'au moins deux écarts types est majorée par $$\dfrac{1}{4}$$, soit $$25\,\%$$.

On peut noter que $${\color{blue}{E\left(X\right)=\mu}}$$ et $${\color{red}{V\left(X\right)=\sigma^{2}}}$$.À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, avec $${\color{green}{a=3\sigma}}$$ qui est strictement positif, on peut écrire que :
$$P\left(\left|X-{\color{blue}{\mu}}\right|\ge {\color{green}{3\sigma}}\right)\le \dfrac{{\color{red}{\sigma^{2}}}}{\left({\color{green}{3\sigma}}\right)^{2} }$$
$$P\left(\left|X-\mu\right|\ge 3\sigma\right)\le \dfrac{\sigma^{2}}{9\sigma^{2}}$$
D'où :La probabilité que $$X$$ s'écarte de son espérance d'au moins trois écarts types est majorée par $$\dfrac{1}{9}$$, soit environ $$11{,}1\,\%$$.

L'événement contraire de $$\left|X-\mu\right|\lt 3\sigma$$ est l'événement $$\left|X-\mu\right|\geqslant 3\sigma$$.
On peut également écrire, par passage à l’événement contraire, que : $$P\left(\left|X-\mu\right|\lt 3\sigma\right)=1-P\left(\left|X-\mu\right|\geqslant 3\sigma\right)$$
Nous savons que :
$$P\left(\left|X-\mu\right|\geqslant 3\sigma\right)\leqslant \dfrac{1}{9}$$
$$-P\left(\left|X-\mu\right|\geqslant 3\sigma\right) \red{\geqslant} -\dfrac{1}{9}$$. Ici, nous avons multiplié de part et d'autre de l'inégalité par $$-1$$ et donc on change le sens de l'inégalité.
$$1-P\left(\left|X-\mu\right|\geqslant 3\sigma\right) \geqslant 1-\dfrac{1}{9}$$. Ici on ajoute $$1$$ de part et d'autre de l'inégalité.
Finalement :
Ainsi, $$X$$ prend une valeur à moins de trois écarts types de son espérance avec une probabilité d'au moins $$\dfrac{8}{9}$$, soit environ $$88{,}9\,\%$$.