Majorer et minorer avec l'inégalité de concentration - Exercice 1

Ici, $$E\left(X\right)=3$$, $$V\left(X\right)=2$$ et $$n=100$$.
Si $$\alpha =0{,}5$$ et en utilisant l'inégalité de concentration, on a :
$$P\left(\left|M_{100}-3\right|\ge 0{,}5\right)\le \dfrac{2}{100\times 0{,}5^2}$$
$$P\left(\left|M_{100}-3\right|\ge 0{,}5\right)\le \dfrac{2}{25}$$
D'où :

Ici, $$E\left(X\right)=3$$, $$V\left(X\right)=2$$ et $$n=1000$$.
Si $$\alpha =0{,}1$$ et en utilisant l'inégalité de concentration, on a :
$$P\left(\left|M_{1000}-3\right|\ge 0{,}1\right)\le \dfrac{2}{1000\times 0{,}1^2}$$
$$P\left(\left|M_{1000}-3\right|\ge 0{,}1\right)\le \dfrac{2}{10}$$
D'où :

Si $$2{,}8\lt M_{500}\lt 3{,}2$$ alors $$M_{500} \in\left]2{,}8;3{,}2\right[$$
Il va être important ici de déterminer la valeur de $$a$$ et de $$r$$.
$${\color{red}a}$$ correspond au centre de l'intervalle en question c'est-à-dire le centre de l'intervalle $$\left]2{,}8;3{,}2\right[$$.
$$\red{\text{Première étape :}}$$ Calcul du centre $${\color{red}a}$$
$${\color{red}a}=\dfrac{2{,}8+3{,}2}{2}$$
$${\color{red}a}=\dfrac{6}{2}$$

$$\red{\text{Deuxième étape :}}$$ Calcul de $${\color{blue}r}$$ qui correspond au rayon de l'intervalle $$\left]2{,}8;3{,}2\right[$$
Pour cela nous allons calculer la distance entre $$2{,}8$$ et $$3{,}2$$ et ensuite on divisera le résultat par $$2$$. Nous obtiendrons ainsi le rayon de l'intervalle $$\left]2{,}8;3{,}2\right[$$.
La distance entre $$2{,}8$$ et $$3{,}2$$ vaut :
$$\left|2{,}8-3{,}2\right|=\left|-0{,}4\right|=0{,}4$$
Finalement, la distance entre $$2{,}8$$ et $$3{,}2$$ vaut $$0{,}4$$.
Le rayon $${\color{blue}r}$$ de l'intervalle $$\left]2{,}8;3{,}2\right[$$ est alors $${\color{blue}r}=\dfrac{0{,}4}{2}$$ c'est-à-dire
Il en résulte donc que :
$$M_{500}\in\left]2{,}8;3{,}2\right[$$ est équivalent à $$\left|M_{500}-{\color{red}3}\right|\lt {\color{blue}0{,}2}$$
Or l'événement contraire de $$\left|M_{500}-3\right|\lt 0{,}2$$ est l'événement $$\left|M_{500}-3\right|\geqslant 0{,}2$$.
On peut également écrire, par passage à l’événement contraire, que : $$P\left(\left|M_{500}-3\right|\lt 0{,}2\right)=1-P\left(\left|M_{500}-3\right|\geqslant 0{,}2\right)$$
Nous allons pouvoir majorer $$P\left(\left|M_{500}-3\right|\geqslant 0{,}2\right)$$ à l'aide de l'inégalité de concentration avec $$n=500$$.
Si $$\alpha =0{,}2$$ et en utilisant l'inégalité de concentration, on a :
$$P\left(\left|M_{500}-3\right|\ge 0{,}2\right)\le \dfrac{2}{500\times 0{,}2^2}$$
$$P\left(\left|M_{500}-3\right|\ge 0{,}2\right)\le \dfrac{2}{20}$$
D'où :Nous savons que :
$$P\left(\left|M_{500}-3\right|\geqslant 0{,}2\right)\leqslant 0{,}1$$
$$-P\left(\left|M_{500}-3\right|\geqslant 0{,}2\right) \red{\geqslant} -0{,}1$$. Ici, nous avons multiplié de part et d'autre de l'inégalité par $$-1$$ et donc on change le sens de l'inégalité.
$$1-P\left(\left|M_{500}-3\right|\geqslant 0{,}2\right) \geqslant 1-0{,}1$$. Ici on ajoute $$1$$ de part et d'autre de l'inégalité.
Finalement :
Ainsi :