La loi des grands nombres - Exercice 1

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Soit XX une variable aléatoire d'espérance E(X)=2E\left(X\right)=2 et de variance V(X)=9V\left(X\right)=9. Pour tout entier naturel nn non nul, on note MnM_n la variable aléatoire moyenne d'un échantillon de taille nn de la loi de XX.
Question 1

Majorer P(∣Mn−2∣≥0,1)P\left(\left|M_n-2\right|\ge 0{,}1\right) en fonction de nn.

Correction
Ici, E(X)=2E\left(X\right)=2 et V(X)=9V\left(X\right)=9.
    L’ineˊgaliteˊ de concentration\red{\text{L'inégalité de concentration}}
Soit XX la variable aléatoire d'espérance E(X)E\left(X\right) et de variance V(X)V\left(X\right).
Soit MnM_n la variable aléatoire moyenne d'un échantillon de taille nn de la variable aléatoire XX.
Pour tout réel strictement positif α\alpha , on a :
P(∣Mn−E(X)∣≥α)≤V(X)nα2P\left(\left|M_n-E\left(X\right)\right|\ge \alpha \right)\le \dfrac{V\left(X\right)}{n{\alpha }^2}
Si α=0,1\alpha =0{,}1 et en utilisant l'inégalité de concentration, on a :
P(∣Mn−2∣≥0,1)≤9n×0,12P\left(\left|M_n-2\right|\ge 0{,}1\right)\le \dfrac{9}{n\times 0{,}1^2}
P(∣Mn−2∣≥0,1)≤90,01nP\left(\left|M_n-2\right|\ge 0{,}1\right)\le \dfrac{9}{0{,}01n}
D'où :
P(∣Mn−2∣≥0,1)≤900nP\left(\left|M_n-2\right|\ge 0{,}1\right)\le \dfrac{900}{n}
Question 2

Déterminer lim⁡n→+∞900n\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{900}{n}, puis en déduire lim⁡n→+∞P(∣Mn−2∣≥0,1)\displaystyle\lim_{n\to+\infty}P\left(\left|M_n-2\right|\ge 0{,}1\right).

Correction
lim⁡n→+∞n=+∞\displaystyle\lim_{n\to+\infty}n=+\infty donc, par quotient :
lim⁡n→+∞900n=0\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{900}{n}=0
Une probabilité est toujours positive. Ainsi, pour tout entier naturel nn non nul :
0≤P(∣Mn−2∣≥0,1)≤900n0\le P\left(\left|M_n-2\right|\ge 0{,}1\right)\le \dfrac{900}{n}
D'après le théorème des gendarmes :
lim⁡n→+∞P(∣Mn−2∣≥0,1)=0\displaystyle\lim_{n\to+\infty}P\left(\left|M_n-2\right|\ge 0{,}1\right)=0
Question 3

Interpréter ce résultat.

Correction
    La loi des grands nombres\red{\text{La loi des grands nombres}}
Soit MnM_n la variable aléatoire moyenne d'un échantillon de taille nn d'une variable aléatoire XX d'espérance E(X)E\left(X\right).
Pour tout réel strictement positif α\alpha, on a :
lim⁡n→+∞P(∣Mn−E(X)∣≥α)=0\displaystyle\lim_{n\to+\infty}P\left(\left|M_n-E\left(X\right)\right|\ge \alpha \right)=0
On retrouve la loi des grands nombres avec E(X)=2E\left(X\right)=2 et α=0,1\alpha=0{,}1.
Cela signifie que, pour un échantillon de grande taille, la probabilité que la moyenne MnM_n s'écarte de l'espérance 22 d'au moins 0,10{,}1 est aussi proche de 00 que l'on veut : plus l'échantillon est grand, plus sa moyenne est proche de l'espérance de XX.

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