Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : « au moins », « au plus » et intervalle non centré - Exercice 1

10 min
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Soit XX une variable aléatoire d'espérance E(X)=50E\left(X\right)=50 et de variance V(X)=25V\left(X\right)=25.
Question 1

Justifier que P(X⩾60)⩽P(∣X−50∣⩾10)P\left(X\geqslant 60\right)\leqslant P\left(\left|X-50\right|\geqslant 10\right).

Correction
Si X⩾60X\geqslant 60 alors X−50⩾60−50X-50\geqslant 60-50, c'est-à-dire X−50⩾10X-50\geqslant 10.
Comme X−50X-50 est alors positif, ∣X−50∣=X−50\left|X-50\right|=X-50 et donc ∣X−50∣⩾10\left|X-50\right|\geqslant 10.
L'événement {X⩾60}\left\{X\geqslant 60\right\} est donc inclus dans l'événement {∣X−50∣⩾10}\left\{\left|X-50\right|\geqslant 10\right\}.
D'où :
P(X⩾60)⩽P(∣X−50∣⩾10)P\left(X\geqslant 60\right)\leqslant P\left(\left|X-50\right|\geqslant 10\right)
Question 2

En déduire un majorant de P(X⩾60)P\left(X\geqslant 60\right).

Correction
On peut noter que E(X)=50{\color{blue}{E\left(X\right)=50}} et V(X)=25{\color{red}{V\left(X\right)=25}}.
    L’ineˊgaliteˊ de Bienaymeˊ-Tchebychev\red{\text{L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev}}
  • Soit XX une variable aléatoire d'espérance E(X){\color{blue}{E\left(X\right)}} et de variance V(X){\color{red}{V\left(X\right)}} et soit a{\color{green}{a}} un nombre réel strictement positif. On a alors : P(∣X−E(X)∣≥a)≤V(X)a2P\left(\left|X-{\color{blue}{E\left(X\right)}}\right|\ge {\color{green}{a}}\right)\le \dfrac{{\color{red}{V\left(X\right)}}}{{\color{green}{a}}^{2} }
    • À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on peut écrire que :
    P(∣X−50∣⩾10)≤25102P\left(\left|X-{\color{blue}{50}}\right|\geqslant {\color{green}{10}}\right)\le \dfrac{{\color{red}{25}}}{{\color{green}{10}}^{2} }
    P(∣X−50∣⩾10)≤25100P\left(\left|X-50\right|\geqslant 10\right)\le \dfrac{25}{100}
    D'où :
    P(∣X−50∣⩾10)≤0,25P\left(\left|X-50\right|\geqslant 10\right)\le 0{,}25
    Or d'après la question précédente : P(X⩾60)⩽P(∣X−50∣⩾10)P\left(X\geqslant 60\right)\leqslant P\left(\left|X-50\right|\geqslant 10\right).
    Ainsi :
    P(X⩾60)⩽0,25P\left(X\geqslant 60\right)\leqslant 0{,}25
    Question 3

    Majorer de même P(X⩽35)P\left(X\leqslant 35\right).

    Correction
    Si X⩽35X\leqslant 35 alors X−50⩽35−50X-50\leqslant 35-50, c'est-à-dire X−50⩽−15X-50\leqslant -15.
    Comme X−50X-50 est alors négatif, ∣X−50∣=−(X−50)\left|X-50\right|=-\left(X-50\right) et donc ∣X−50∣⩾15\left|X-50\right|\geqslant 15.
    L'événement {X⩽35}\left\{X\leqslant 35\right\} est donc inclus dans l'événement {∣X−50∣⩾15}\left\{\left|X-50\right|\geqslant 15\right\} : P(X⩽35)⩽P(∣X−50∣⩾15)P\left(X\leqslant 35\right)\leqslant P\left(\left|X-50\right|\geqslant 15\right).
    On peut noter que E(X)=50{\color{blue}{E\left(X\right)=50}} et V(X)=25{\color{red}{V\left(X\right)=25}}.
      L’ineˊgaliteˊ de Bienaymeˊ-Tchebychev\red{\text{L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev}}
  • Soit XX une variable aléatoire d'espérance E(X){\color{blue}{E\left(X\right)}} et de variance V(X){\color{red}{V\left(X\right)}} et soit a{\color{green}{a}} un nombre réel strictement positif. On a alors : P(∣X−E(X)∣≥a)≤V(X)a2P\left(\left|X-{\color{blue}{E\left(X\right)}}\right|\ge {\color{green}{a}}\right)\le \dfrac{{\color{red}{V\left(X\right)}}}{{\color{green}{a}}^{2} }
    • À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on peut écrire que :
    P(∣X−50∣⩾15)≤25152P\left(\left|X-{\color{blue}{50}}\right|\geqslant {\color{green}{15}}\right)\le \dfrac{{\color{red}{25}}}{{\color{green}{15}}^{2} }
    P(∣X−50∣⩾15)≤25225P\left(\left|X-50\right|\geqslant 15\right)\le \dfrac{25}{225}
    D'où :
    P(∣X−50∣⩾15)≤19P\left(\left|X-50\right|\geqslant 15\right)\le \dfrac{1}{9}
    Ainsi :
    P(X⩽35)⩽19P\left(X\leqslant 35\right)\leqslant \dfrac{1}{9}

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