Il s'agit de minorer
P(9000<H200<9800) autrement dit déterminer un réel positif
α∈[0;1] tel que :
P(9000<H200<9800)≥αNous allons commencer par écrire cette inégalité
9000<H200<9800 à l'aide d'une valeur absolue.
9000<H200<9800⟺9400−400<H200<9400+400 . Nous remarquons qu'apparait
E(H200)=9400 9000<H200<9800⟺∣H200−9400∣<400L’ineˊgaliteˊ de Bienaymeˊ-Tchebychev
Soit X une variable aléatoire d'espérance E(X) et de variance V(X) et soit a un nombre réel strictement positif. On a alors : P(∣X−E(X)∣≥a)≤a2V(X) Si nous voulons utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, il faut que l'on se ramène à l'écriture suivante :
P(∣X−E(X)∣≥a) et dans notre situation à
P(∣X−9400∣≥400)Or l'événement contraire de
∣H200−9400∣<400 est l'événement
∣H200−9400∣≥400.
D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a :
P(∣H200−9400∣≥400)≤4002V(H200)P(∣H200−9400∣≥400)≤4002120200P(∣H200−9400∣≥400)≤800601Or :
P(9000<H200<9800)=P(∣H200−9400∣<400) et on sait que l'événement contraire de
∣H200−9400∣<400 est l'événement
∣H200−9400∣≥400 ce qui nous permet d'écrire que :
P(∣H200−9400∣≥400)=1−P(∣H200−9400∣<400)Nous savons que :
P(∣H200−9400∣≥400)≤800601Il vient alors que :
1−P(∣H200−9400∣<400)≤800601−P(∣H200−9400∣<400)≤800601−1−P(∣H200−9400∣<400)≤−800199 . Ici nous allons multiplier par
−1 et cela va changer le sens de l'inégalité.
Finalement :
P(9000<H200<9800)≥800199