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Exercices types : $1$ ^ère partie - Exercice 1

20 min

Un nouvel opérateur téléphonique propose deux forfaits.
- Le forfait Lebron James au prix unitaire de

6

euros;
- Le forfait Michael Jordan au prix unitaire de

23

euros.
On suppose que les forfaits achetés par les clients sont indépendants.
Le nombre de forfait achetés par un client est modélisé comme suit :
- pour le forfait Lebron James par une variable aléatoire

X

d'espérance

4

et variance

2

;
- pour le forfait Michael Jordan par une variable aléatoire

Y

d'espérance

1

et variance

1

Question 1

Soit $Z$ la variable aléatoire égale au montant en euros de l'achat d’un client.
Exprimer $Z$ en fonction de $X$ et $Y$ .

Correction

Nous rappelons que :

Le forfait Lebron James au prix unitaire de

6

euros.

Le forfait Michael Jordan au prix unitaire de

23

euros.

Il en résulte que

Z=6X+23Y

Question 2

Calculer l'espérance de $Z$ .

Correction

X

Y

a

b

E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)

E\left(aX\right)=aE\left(X\right)

E\left(X+b\right)=E\left(X\right)+b

E\left(aX+b\right)=aE\left(X\right)+b

D'après le rappel, par linéarité de l'espérance, on a :

E\left(Z\right)=E\left(6 X+23 Y\right)

E\left(Z\right)=6 E\left(X\right)+23 E\left(Y\right)

E\left(Z\right)=6 \times 4+23 \times 1

Ainsi :

E\left(Z\right)=47

Question 3

Calculer la variance de $Z$ .

Correction

On suppose que les forfaits achetés par les clients sont indépendants.
Ainsi

X

Y

sont des variables indépendantes, ce qui implique que

6 X

23 Y

sont également indépendants.

X

Y

\red{\text{indépendantes}}

V\left(X+Y\right)=V\left(X\right)+V\left(Y\right)

Comme

V\left(Z\right)=V\left(6X+23Y\right)

alors :

V\left(Z\right)=V\left(6 X\right)+V\left(23 Y\right)

X

a

b

V\left(aX\right)=a^2V\left(X\right)

V\left(aX+b\right)=a^2V\left(X\right)

V\left(Z\right)=6^2 V\left(X\right)+23^2 V\left(Y\right)

V\left(Z\right)=6^2 \times 2+23^2 \times 1

D'où :

V\left(Z\right)=601

Question 4

Après avoir fait mené une étude auprès de spécialistes. Le patron de la boutique Adam Cilvert estime que

200

personnes viennent chaque jour. Soit

H_{200}

la variable aléatoire qui, à une journée donnée, associe le chiffre d'affaires de la boutique.

Exprimer $H_{200}$ en fonction de $Z$ .

Correction

H_{200}

est la variable aléatoire

\red{\text{somme}}

d’un échantillon de

Z

de taille

200

.
Ainsi :

H_{200}=200Z

Question 5

Déterminer l'espérance et la variance de $H_{200}$ .

Correction

Soit

n

un entier naturel non nul. Soit

X

une variable aléatoire définie sur un univers

\Omega

.
Soit

S_n

la variable aléatoire

\red{\text{somme}}

d'un échantillon de taille

n

de la loi de

X

.
On a alors :

E\left(S_n\right)=n E(X)

V\left(S_n\right)=n V(X)

\sigma\left(S_n\right)=\sqrt{n} \times \sigma(X)

D'après le rappel, on a :

E\left(H_{200}\right)=E\left(200Z\right)

E\left(H_{200}\right)=200 E\left(Z\right)

E\left(H_{200}\right)=200 \times 47

\;\;

car

E\left(Z\right)=47

Ainsi :

E\left(H_{200}\right)=9400

Question 6

Déterminer la variance de $H_{200}$ .

Correction

Soit

n

un entier naturel non nul. Soit

X

une variable aléatoire définie sur un univers

\Omega

.
Soit

S_n

la variable aléatoire

\red{\text{somme}}

d'un échantillon de taille

n

de la loi de

X

.
On a alors :

E\left(S_n\right)=n E(X)

V\left(S_n\right)=n V(X)

\sigma\left(S_n\right)=\sqrt{n} \times \sigma(X)

D'après le rappel, on a :

V\left(H_{200}\right)=V\left(200Z\right)

V\left(H_{200}\right)=200 V\left(Z\right)

V\left(H_{200}\right)=200 \times 601

\;\;

car

V\left(Z\right)=601

Il en résulte donc que :

V\left(H_{200}\right)=120

200

Question 7

En utilisant l'inégalité de Bienaumé-Tchebichev, déterminer un minorant de la probabilité que le chiffre d'affaires soit strictement compris entre $9$ $000$ et $9$ $800$ euros.

Correction

Il s'agit de minorer

P(9000<H_{200}<9800)

autrement dit déterminer un réel positif

\alpha \in \left[0;1\right]

tel que :

P(9000<H_{200}<9800)\ge \alpha

Nous allons commencer par écrire cette inégalité

9000<H_{200}<9800

à l'aide d'une valeur absolue.

9000<H_{200}<9800 \Longleftrightarrow {\color{blue}{9400}}-400<H_{200}<{\color{blue}{9400}}+400

. Nous remarquons qu'apparait

\color{blue}{E\left(H_{200}\right)=9400}

9000<H_{200}<9800 \Longleftrightarrow|H_{200}-{\color{blue}{9400}}|<400

\red{\text{L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev}}

Soit

X

une variable aléatoire d'espérance

{\color{blue}{E\left(X\right)}}

et de variance

{\color{red}{V\left(X\right)}}

et soit

{\color{green}{a}}

un nombre réel strictement positif. On a alors :

P\left(\left|X-{\color{blue}{E\left(X\right)}}\right|\ge {\color{green}{a}}\right)\le \frac{{\color{red}{V\left(X\right)}}}{{\color{green}{a}}^{2} }

Si nous voulons utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, il faut que l'on se ramène à l'écriture suivante :

P\left(\left|X-{\color{blue}{E\left(X\right)}}\right|\ge {\color{green}{a}}\right)

et dans notre situation à

P\left(\left|X-{\color{blue}{9400}}\right|\ge {\color{green}{400}}\right)

Or l'événement contraire de

|H_{200}-{\color{blue}{9400}}|<400

est l'événement

|H_{200}-{\color{blue}{9400}}| \ge 400

.
D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a :

P\left(\left|H_{200}-{\color{blue}{9400}}\right|\ge {\color{green}{400}}\right)\le \frac{{\color{red}{V\left(H_{200}\right)}}}{{\color{green}{400}}^{2} }

P\left(\left|H_{200}-{\color{blue}{9400}}\right|\ge {\color{green}{400}}\right)\le \frac{{\color{red}{120200}}}{{\color{green}{400}}^{2} }

P\left(\left|H_{200}-{\color{blue}{9400}}\right|\ge {\color{green}{400}}\right)\le \frac{601}{800}

Or :

P(9000<H_{200}<9800)=P\left(\left|H_{200}-9400\right|<400\right)

et on sait que l'événement contraire de

|H_{200}-{\color{blue}{9400}}|<400

est l'événement

|H_{200}-{\color{blue}{9400}}| \ge 400

ce qui nous permet d'écrire que :

P\left(\left|H_{200}-{\color{blue}{9400}}\right|\ge {\color{green}{400}}\right)=1-P\left(\left|H_{200}-{\color{blue}{9400}}\right|< {\color{green}{400}}\right)

Nous savons que :

P\left(\left|H_{200}-{\color{blue}{9400}}\right|\ge {\color{green}{400}}\right)\le \frac{601}{800}

Il vient alors que :

1-P\left(\left|H_{200}-{\color{blue}{9400}}\right|< {\color{green}{400}}\right)\le \frac{601}{800}

-P\left(\left|H_{200}-{\color{blue}{9400}}\right|< {\color{green}{400}}\right)\le \frac{601}{800}-1

-P\left(\left|H_{200}-{\color{blue}{9400}}\right|< {\color{green}{400}}\right)\le -\frac{199}{800}

. Ici nous allons multiplier par

-1

et cela va changer le sens de l'inégalité.
Finalement :

P(9000<H_{200}<9800) \ge \frac{199}{800}

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Exercices types : 111ère partie - Exercice 1

Soit ZZZ la variable aléatoire égale au montant en euros de l'achat d’un client.Exprimer ZZZ en fonction de XXX et YYY .

Calculer l'espérance de ZZZ.

Calculer la variance de ZZZ.

Exprimer H200H_{200}H200​ en fonction de ZZZ .

Déterminer l'espérance et la variance de H200H_{200}H200​.

Déterminer la variance de H200H_{200}H200​.

En utilisant l'inégalité de Bienaumé-Tchebichev, déterminer un minorant de la probabilité que le chiffre d'affaires soit strictement compris entre 999 000000000 et 999 800800800 euros.

Exercices types : $1$ ^ère partie - Exercice 1

Soit $Z$ la variable aléatoire égale au montant en euros de l'achat d’un client.
Exprimer $Z$ en fonction de $X$ et $Y$ .

Calculer l'espérance de $Z$ .

Calculer la variance de $Z$ .

Exprimer $H_{200}$ en fonction de $Z$ .

Déterminer l'espérance et la variance de $H_{200}$ .

Déterminer la variance de $H_{200}$ .

En utilisant l'inégalité de Bienaumé-Tchebichev, déterminer un minorant de la probabilité que le chiffre d'affaires soit strictement compris entre $9$ $000$ et $9$ $800$ euros.