Épreuve d'enseignement de spécialité Métropole Sujet 1 - 8 septembre 2026 Exercice 1 Partie C : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev - Exercice 1

10 min
25
Deux zones géographiques A et B sont desservies par une entreprise de livraison de colis, sans que les livraisons dans l'une n'aient d'incidence sur celles dans l'autre. L'entreprise observe 120120 livraisons effectuées en zone A et 8080 livraisons effectuées en zone B.
On note XAX_{A} et XBX_{B} les variables aléatoires comptabilisant le nombre de colis livrés en respectant les délais de livraison en zone A et en zone B, et S=XA+XBS=X_{A}+X_{B} la variable aléatoire donnant le nombre total de colis livrés respectant les délais de livraison.
On admet que XAX_{A} suit la loi binomiale B(120  ;0,85)\mathcal{B}\left(120\;;0{,}85\right), que XBX_{B} suit la loi binomiale B(80  ;0,90)\mathcal{B}\left(80\;;0{,}90\right), et que E(S)=174E\left(S\right)=174 et V(S)=22,5V\left(S\right)=22{,}5.
Question 1

À l'aide d'une inégalité de Bienaymé-Tchebychev, minorer P(S∈[165  ;183])P\left(S\in\left[165\;;183\right]\right) et interpréter le résultat.

Correction
SS ne prend que des valeurs entières. Pour un entier SS :
165⩽S⩽183165\leqslant S\leqslant 183 équivaut successivement à :
165−174⩽S−174⩽183−174165-174\leqslant S-174\leqslant 183-174
−9⩽S−174⩽9-9\leqslant S-174\leqslant 9
∣S−174∣⩽9\left|S-174\right|\leqslant 9
∣S−174∣<10\left|S-174\right|\lt 10, car S−174S-174 est un entier.
Ainsi P(S∈[165  ;183])=P(∣S−174∣<10)P\left(S\in\left[165\;;183\right]\right)=P\left(\left|S-174\right|\lt 10\right).
    Ineˊgaliteˊ de Bienaymeˊ-Tchebychev\red{\text{Inégalité de Bienaymé-Tchebychev}}
  • Pour toute variable aléatoire XX et tout réel δ>0\delta>0 : P(∣X−E(X)∣⩾δ)⩽V(X)δ2P\left(\left|X-E\left(X\right)\right|\geqslant\delta\right)\leqslant\dfrac{V\left(X\right)}{\delta^{2}}.
  • Par passage à l'évènement contraire : P(∣X−E(X)∣<δ)⩾1−V(X)δ2P\left(\left|X-E\left(X\right)\right|\lt\delta\right)\geqslant 1-\dfrac{V\left(X\right)}{\delta^{2}}.
    • Avec E(S)=174E\left(S\right)=174, V(S)=22,5V\left(S\right)=22{,}5 et δ=10\delta=10 :
    P(∣S−174∣<10)⩾1−22,5102=1−0,225=0,775P\left(\left|S-174\right|\lt 10\right)\geqslant 1-\dfrac{22{,}5}{10^{2}}=1-0{,}225=0{,}775
    P(S∈[165  ;183])⩾0,775P\left(S\in\left[165\;;183\right]\right)\geqslant 0{,}775
    La probabilité que le nombre total de colis livrés dans les délais soit compris entre 165165 et 183183 est au moins égale à 77,5 %77{,}5\,\%.
    Remarque : 0,7750{,}775 est une valeur exacte. On ne l'arrondit pas à 0,80{,}8 : une minoration arrondie vers le haut ne serait plus justifiée.

    Signaler une erreur

    Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

    Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.