Épreuve d'enseignement de spécialité Métropole Sujet 1 - 16 juin 2026 Exercice 1 Partie B : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev - Exercice 1

Un navire assure la liaison entre deux ports de la Méditerranée. On note $$Z$$ la variable aléatoire qui, à chaque famille effectuant la traversée, associe le montant total, en euro, qu'elle paie pour les suppléments (cabine, emplacement pour un véhicule) et les extras (repas, boissons, etc.), après une remise exceptionnelle de $$40\,\%$$.
On admet que $$E\left(Z\right)=120$$ et $$V\left(Z\right)=1\,728$$.
On note $$n$$ un entier naturel non nul et on choisit au hasard un échantillon de $$n$$ familles effectuant cette traversée et bénéficiant de cette réduction exceptionnelle. On admet que ce choix peut être assimilé à un tirage avec remise.
On désigne par $$Z_{1}$$ la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la première famille, $$Z_{2}$$ la variable aléatoire égale au prix total payé par la deuxième famille et ainsi de suite, $$Z_{n}$$ la variable aléatoire égale au prix total payé par la $$n$$-ième famille.
On considère la variable aléatoire $$M_{n}=\dfrac{Z_{1}+Z_{2}+\ldots+Z_{n}}{n}$$ donnant le prix total moyen pour les suppléments et les extras, payé par ces familles.
On admet que les variables $$Z_{1}$$, $$Z_{2}$$, …, $$Z_{n}$$ sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité que la variable aléatoire $$Z$$.