Épreuve d'enseignement de spécialité Antilles-Guyane Sujet 2 - 17 juin 2026 Exercice 1 Partie B : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev - Exercice 1

10 min
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Pour vérifier le bon fonctionnement des relais d'un réseau de communication, on effectue sur chaque relais un échantillon de 5050 tests ; un test est positif si la présence d'au moins une erreur est détectée.
On étudie une chaîne de transmission de l'information composée de 2525 relais.
On considère la variable aléatoire X1X_{1} qui à chaque échantillon de 5050 tests pratiqués sur le relais 11 associe le nombre de tests positifs. On définit de la même manière les variables aléatoires X2X_{2} pour le relais 22, …, X25X_{25} pour le relais 2525.
On admet que ces 2525 variables aléatoires sont indépendantes entre elles et qu'elles admettent la même espérance égale à 22 et la même variance égale à 1,921{,}92.
On note MM la variable aléatoire donnant la moyenne du nombre de tests positifs lors des contrôles effectués sur les 2525 relais. On a donc M=X1+X2+…+X2525M=\dfrac{X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{25}}{25}.
Question 1

Vérifier que E(M)=2E\left(M\right)=2 et montrer que V(M)=0,076 8V\left(M\right)=0{,}076\,8.

Correction
    Moyenne d’un eˊchantillon\red{\text{Moyenne d'un échantillon}}
  • Si Z1Z_{1}, …, ZnZ_{n} sont indépendantes et suivent la même loi que ZZ, et si Mn=Z1+…+ZnnM_{n}=\dfrac{Z_{1}+\ldots+Z_{n}}{n}, alors : E(Mn)=E(Z)E\left(M_{n}\right)=E\left(Z\right) et V(Mn)=V(Z)nV\left(M_{n}\right)=\dfrac{V\left(Z\right)}{n}.
    • Espeˊrance :\red{\text{Espérance :}}
    E(M)=125E(X1+X2+…+X25)E\left(M\right)=\dfrac{1}{25}E\left(X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{25}\right)
    E(M)=125(E(X1)+E(X2)+…+E(X25))E\left(M\right)=\dfrac{1}{25}\left(E\left(X_{1}\right)+E\left(X_{2}\right)+\ldots+E\left(X_{25}\right)\right)
    E(M)=125×25×2E\left(M\right)=\dfrac{1}{25}\times 25\times 2
    Ainsi :
    E(M)=2E\left(M\right)=2
    Variance :\red{\text{Variance :}} les variables X1X_{1}, …, X25X_{25} sont indépendantes, donc :
    V(M)=(125)2×V(X1+X2+…+X25)V\left(M\right)=\left(\dfrac{1}{25}\right)^{2}\times V\left(X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{25}\right)
    V(M)=1625(V(X1)+V(X2)+…+V(X25))V\left(M\right)=\dfrac{1}{625}\left(V\left(X_{1}\right)+V\left(X_{2}\right)+\ldots+V\left(X_{25}\right)\right)
    V(M)=1625×25×1,92V\left(M\right)=\dfrac{1}{625}\times 25\times 1{,}92
    V(M)=1,9225V\left(M\right)=\dfrac{1{,}92}{25}
    Ainsi :
    V(M)=0,076 8V\left(M\right)=0{,}076\,8
    Question 2

    À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité que la moyenne des tests positifs soit strictement inférieure à 77 est supérieure à 0,990{,}99.
    Indication : on pourra utiliser, sans justification, le fait que P(M<7)=P(−3<M<7)P\left(M\lt 7\right)=P\left(-3\lt M\lt 7\right).

    Correction
      Ineˊgaliteˊ de Bienaymeˊ-Tchebychev\red{\text{Inégalité de Bienaymé-Tchebychev}}
  • Pour toute variable aléatoire XX et tout réel δ>0\delta>0 : P(∣X−E(X)∣⩾δ)⩽V(X)δ2P\left(\left|X-E\left(X\right)\right|\geqslant\delta\right)\leqslant\dfrac{V\left(X\right)}{\delta^{2}}.
  • Par passage à l'évènement contraire : P(∣X−E(X)∣<δ)⩾1−V(X)δ2P\left(\left|X-E\left(X\right)\right|\lt\delta\right)\geqslant 1-\dfrac{V\left(X\right)}{\delta^{2}}.
    • L'intervalle ]−3  ;7[\left]-3\;;7\right[ est centré en E(M)=2E\left(M\right)=2, de demi-amplitude 55 :
    −3<M<7⟺−5<M−2<5⟺∣M−2∣<5-3\lt M\lt 7\Longleftrightarrow -5\lt M-2\lt 5\Longleftrightarrow\left|M-2\right|\lt 5.
    D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à MM avec δ=5\delta=5 :
    P(∣M−2∣<5)⩾1−V(M)52P\left(\left|M-2\right|\lt 5\right)\geqslant 1-\dfrac{V\left(M\right)}{5^{2}}
    P(−3<M<7)⩾1−0,076 825P\left(-3\lt M\lt 7\right)\geqslant 1-\dfrac{0{,}076\,8}{25}
    P(−3<M<7)⩾1−0,003 072P\left(-3\lt M\lt 7\right)\geqslant 1-0{,}003\,072
    P(−3<M<7)⩾0,996 928P\left(-3\lt M\lt 7\right)\geqslant 0{,}996\,928
    Or P(M<7)=P(−3<M<7)P\left(M\lt 7\right)=P\left(-3\lt M\lt 7\right) et 0,996 928>0,990{,}996\,928>0{,}99.
    P(M<7)⩾0,996 928>0,99P\left(M\lt 7\right)\geqslant 0{,}996\,928>0{,}99 : la probabilité que la moyenne des tests positifs soit strictement inférieure à 77 est supérieure à 0,990{,}99.

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