Épreuve d'enseignement de spécialité Antilles-Guyane Sujet 1 - 16 juin 2026 Exercice 1 Partie B : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev - Exercice 1

10 min
25
Dans le Sud de la France, on compte 1212 réacteurs nucléaires. On note SS la variable aléatoire qui donne la production totale journalière, en GWh (gigawattheure), de ces 1212 réacteurs.
On admet que l'espérance de SS est E(S)=150E\left(S\right)=150 et que sa variance est V(S)=489V\left(S\right)=489.
Question 1

Afin d'éviter le risque de surcharge du réseau et de couvrir l'ensemble des besoins en électricité, la production totale journalière des 1212 réacteurs doit être comprise strictement entre 100100 GWh et 200200 GWh.
Peut-on affirmer que la probabilité d'éviter le risque de surcharge et de couvrir l'ensemble des besoins en électricité est supérieure à 0,800{,}80 ? Justifier.

Correction
    Ineˊgaliteˊ de Bienaymeˊ-Tchebychev\red{\text{Inégalité de Bienaymé-Tchebychev}}
  • Pour toute variable aléatoire XX et tout réel δ>0\delta>0 : P(∣X−E(X)∣⩾δ)⩽V(X)δ2P\left(\left|X-E\left(X\right)\right|\geqslant\delta\right)\leqslant\dfrac{V\left(X\right)}{\delta^{2}}.
  • Par passage à l'évènement contraire : P(∣X−E(X)∣<δ)⩾1−V(X)δ2P\left(\left|X-E\left(X\right)\right|\lt\delta\right)\geqslant 1-\dfrac{V\left(X\right)}{\delta^{2}}.
    • L'intervalle ]100  ;200[\left]100\;;200\right[ est centré en E(S)=150E\left(S\right)=150, de demi-amplitude 5050 :
    100<S<200⟺−50<S−150<50⟺∣S−150∣<50100\lt S\lt 200\Longleftrightarrow -50\lt S-150\lt 50\Longleftrightarrow\left|S-150\right|\lt 50.
    D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à SS avec δ=50\delta=50 :
    P(∣S−150∣<50)⩾1−V(S)502P\left(\left|S-150\right|\lt 50\right)\geqslant 1-\dfrac{V\left(S\right)}{50^{2}}
    P(100<S<200)⩾1−4892 500P\left(100\lt S\lt 200\right)\geqslant 1-\dfrac{489}{2\,500}
    P(100<S<200)⩾1−0,195 6P\left(100\lt S\lt 200\right)\geqslant 1-0{,}195\,6
    P(100<S<200)⩾0,804 4P\left(100\lt S\lt 200\right)\geqslant 0{,}804\,4
    Or 0,804 4>0,800{,}804\,4>0{,}80.
    Oui : la probabilité d'éviter le risque de surcharge et de couvrir l'ensemble des besoins en électricité est supérieure à 0,800{,}80.

    Signaler une erreur

    Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

    Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.