Épreuve d'enseignement de spécialité Amérique du Nord Sujet 2 - 21 mai 2026 Exercice 1 Partie B : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev - Exercice 1

20 min
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Un supermarché dispose d'un stock de tomates ; 9 %9\,\% des tomates du stock ne sont pas commercialisables.
On constitue un échantillon de nn tomates prises au hasard dans le stock, de manière indépendante (prélèvement assimilé à un tirage avec remise), où nn désigne un entier naturel non nul.
On note XnX_{n} la variable aléatoire égale au nombre de tomates non commercialisables et FnF_{n} la variable aléatoire égale à la fréquence de tomates non commercialisables dans cet échantillon de nn tomates. On a donc Fn=XnnF_{n}=\dfrac{X_{n}}{n}.
On admet que la variable aléatoire XnX_{n} suit la loi binomiale de paramètres nn et 0,090{,}09.
Question 1

Calculer l'espérance E(Fn)E\left(F_{n}\right) et exprimer la variance V(Fn)V\left(F_{n}\right) en fonction de nn.

Correction
    Loi binomiale\red{\text{Loi binomiale}}
  • Si XX suit la loi binomiale B(n  ;p)\mathcal{B}\left(n\;;p\right), alors E(X)=npE\left(X\right)=np et V(X)=np(1−p)V\left(X\right)=np\left(1-p\right).
  • P(X⩽k)P\left(X\leqslant k\right) s'obtient à la calculatrice (fonction de répartition de la loi binomiale).
    • E(Xn)=n×0,09=0,09nE\left(X_{n}\right)=n\times 0{,}09=0{,}09n et V(Xn)=n×0,09×(1−0,09)=n×0,09×0,91=0,081 9nV\left(X_{n}\right)=n\times 0{,}09\times\left(1-0{,}09\right)=n\times 0{,}09\times 0{,}91=0{,}081\,9n.
      Espeˊrance et variance d’une somme\red{\text{Espérance et variance d'une somme}}
  • Pour toutes variables aléatoires XX et YY et tout réel aa : E(X+Y)=E(X)+E(Y)E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right) et E(aX)=aE(X)E\left(aX\right)=aE\left(X\right).
  • V(aX)=a2V(X)V\left(aX\right)=a^{2}V\left(X\right).
  • Si XX et YY sont indépendantes : V(X+Y)=V(X)+V(Y)V\left(X+Y\right)=V\left(X\right)+V\left(Y\right).
    • Fn=1nXnF_{n}=\dfrac{1}{n}X_{n}, donc :
    E(Fn)=1nE(Xn)=0,09nn=0,09E\left(F_{n}\right)=\dfrac{1}{n}E\left(X_{n}\right)=\dfrac{0{,}09n}{n}=0{,}09
    V(Fn)=(1n)2V(Xn)=0,081 9nn2=0,081 9nV\left(F_{n}\right)=\left(\dfrac{1}{n}\right)^{2}V\left(X_{n}\right)=\dfrac{0{,}081\,9n}{n^{2}}=\dfrac{0{,}081\,9}{n}
    E(Fn)=0,09E\left(F_{n}\right)=0{,}09 et V(Fn)=0,081 9nV\left(F_{n}\right)=\dfrac{0{,}081\,9}{n}
    Question 2

    Démontrer que P(0,04<Fn<0,14)⩾1−32,76nP\left(0{,}04\lt F_{n}\lt 0{,}14\right)\geqslant 1-\dfrac{32{,}76}{n}.

    Correction
    On a 0,04=0,09−0,050{,}04=0{,}09-0{,}05 et 0,14=0,09+0,050{,}14=0{,}09+0{,}05 : l'intervalle ]0,04;0,14[\left]0{,}04;0{,}14\right[ est centré en E(Fn)=0,09E\left(F_{n}\right)=0{,}09, de demi-amplitude 0,050{,}05.
    Ainsi, 0,04<Fn<0,140{,}04\lt F_{n}\lt 0{,}14 équivaut à −0,05<Fn−0,09<0,05-0{,}05\lt F_{n}-0{,}09\lt 0{,}05, c'est-à-dire à ∣Fn−0,09∣<0,05\left|F_{n}-0{,}09\right|\lt 0{,}05.
      Ineˊgaliteˊ de Bienaymeˊ-Tchebychev\red{\text{Inégalité de Bienaymé-Tchebychev}}
  • Pour toute variable aléatoire XX et tout réel δ>0\delta>0 : P(∣X−E(X)∣⩾δ)⩽V(X)δ2P\left(\left|X-E\left(X\right)\right|\geqslant\delta\right)\leqslant\dfrac{V\left(X\right)}{\delta^{2}}.
  • Par passage à l'évènement contraire : P(∣X−E(X)∣<δ)⩾1−V(X)δ2P\left(\left|X-E\left(X\right)\right|\lt\delta\right)\geqslant 1-\dfrac{V\left(X\right)}{\delta^{2}}.
    • Avec δ=0,05\delta=0{,}05 :
    P(∣Fn−0,09∣<0,05)⩾1−V(Fn)0,052P\left(\left|F_{n}-0{,}09\right|\lt 0{,}05\right)\geqslant 1-\dfrac{V\left(F_{n}\right)}{0{,}05^{2}}
    Or V(Fn)0,052=0,081 90,002 5×n=32,76n\dfrac{V\left(F_{n}\right)}{0{,}05^{2}}=\dfrac{0{,}081\,9}{0{,}002\,5\times n}=\dfrac{32{,}76}{n}.
    Ainsi :
    P(0,04<Fn<0,14)⩾1−32,76nP\left(0{,}04\lt F_{n}\lt 0{,}14\right)\geqslant 1-\dfrac{32{,}76}{n}
    Question 3

    Le responsable des achats prélève dans le stock un échantillon de 500500 tomates. Il s'aperçoit que 5555 tomates ne sont pas commercialisables.
    Est-ce conforme à ce qu'il pouvait attendre ? Justifier la réponse.

    Correction
    Pour n=500n=500 : 1−32,76500=1−0,065 52=0,934 481-\dfrac{32{,}76}{500}=1-0{,}065\,52=0{,}934\,48, donc P(0,04<F500<0,14)⩾0,934 48P\left(0{,}04\lt F_{500}\lt 0{,}14\right)\geqslant 0{,}934\,48.
    Avec une probabilité d'au moins 0,9340{,}934, la fréquence de tomates non commercialisables d'un échantillon de 500500 tomates est strictement comprise entre 0,040{,}04 et 0,140{,}14.
    La fréquence observée est f=55500=0,11f=\dfrac{55}{500}=0{,}11, et 0,04<0,11<0,140{,}04\lt 0{,}11\lt 0{,}14.
    Oui : la fréquence observée 0,110{,}11 appartient à l'intervalle ]0,04;0,14[\left]0{,}04;0{,}14\right[, qui contient la fréquence d'un tel échantillon avec une probabilité d'au moins 0,9340{,}934 ; c'est conforme à ce que le responsable pouvait attendre.

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