Centres Etrangers Sujet 2 - 11 juin 2026 - Exercice 1

On a : $$Y=\frac{X_1+X_2+\cdots+X_{150}}{150}$$.
$$E\left(Y\right)=E\left(\frac{X_1+X_2+\cdots+X_{150}}{150}\right)$$
$$E\left(Y\right)=E\left(\red{\frac{1}{150}}\times \left(X_1+X_2+\cdots+X_{150}\right)\right)$$
D'après la linéarité de l’espérance :
$$E\left(M_n\right)=\red{\frac{1}{150}} E\left(\blue{X_1}+\green{X_2}+\cdots+\pink{X_{150}}\right)$$
$$E\left(Y\right)=\red{\frac{1}{150}}\left( E\left(\blue{X_1}\right)+E\left(\green{X_2}\right)+\cdots +E\left(\pink{X_{150}}\right)\right)$$
Or les variables aléatoires $$X_1, \ldots, X_{150}$$ suivent une loi binomiale $$B(100 ; 0,41)$$.
Ainsi, par exemple : $$E\left(X_1\right)=100 \times 0,41=41$$ d'où $$E\left(X_1\right)=E\left(X_2\right)=\cdots=E\left(X_{150}\right)=41$$
$$E\left(Y\right)=\frac{1}{150}\left( E\left(\blue{X_1}\right)+E\left(\blue{X_1}\right)+\cdots +E\left(\blue{X_1}\right)\right)$$
$$E\left(Y\right)=\frac{1}{150}\times 150\times E\left(\blue{X_1}\right)$$
$$E\left(Y\right)=E\left(\blue{X_1}\right)$$
D'où :

On rappelle que les variables $$X_1, \ldots, X_{150}$$ sont indépendantes.
On a : $$Y=\frac{X_1+X_2+\cdots+X_{150}}{150}$$
Il vient alors que :
$$V\left(Y\right)=V\left(\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{150}\right)$$
$$V\left(Y\right)=V\left(\pink{\frac{1}{150}}\left(X_1+X_2+\cdots+X_{150}\right)\right)$$
$$V\left(Y\right)=\pink{\left(\frac{1}{150}\right)^2} V\left(\red{X_1}+\blue{X_2}+\cdots+\green{X_{150}}\right)$$
On rappelle que les variables $$X_1, \ldots, X_n$$ sont indépendantes.
$$V\left(Y\right)=\frac{1}{{150}^2}\left(\red{V\left(X_1\right)}+\blue{V\left(X_2\right)}+\cdots+\green{V\left(X_{150}\right)}\right)$$
Or les variables aléatoires $$X_1, \ldots, X_{150}$$ suivent une loi binomiale $$B(75 ; 0,108)$$.
Ainsi, par exemple : $$V\left(X_1\right)=100 \times 0,41\times \left(1-0,41\right)=24,19$$ d'où $$V\left(X_1\right)=V\left(X_2\right)=\cdots=V\left(X_n\right)=24,19$$
$$V\left(Y\right)=\frac{1}{{150}^2}\left(\red{V\left(X_1\right)}+\red{V\left(X_1\right)}+\cdots+\red{V\left(X_1\right)}\right)$$
$$V\left(Y\right)=\frac{1}{{150}^2}\times 150\times V\left(X_1\right)$$
$$V\left(Y\right)=\frac{1}{150}\times V\left(X_1\right)$$
$$V\left(Y\right)=\frac{1}{150}\times 24,19$$
D'où :

Si $$37<Y<45$$ alors $$Y \in\left]37;45\right[$$
Il va être important ici de déterminer la valeur de $$a$$ et de $$r$$ .
$${\color{red}a}$$ correspond au centre de l'intervalle en question c'est à dire le centre de l'intervalle $$\left]37;45\right[$$ .
$$\red{\text{Première étape :}}$$ Calcul du centre $${\color{red}a}$$
$${\color{red}a}=\frac{37+45}{2}$$

$$\red{\text{Deuxième étape :}}$$ Calcul de $${\color{blue}r}$$ qui correspond au rayon de l'intervalle $$\left]37;45\right[$$
Pour cela nous allons calculer la distance entre $$37$$ et $$45$$ et ensuite on divisera le résultat par $$2$$ . Nous obtiendrons ainsi le rayon de l'intervalle $$\left]37;45\right[$$ .
La distance entre $$37$$ et $$45$$ vaut :
$$\left|37-45\right|=\left|-8\right|=8$$
Finalement, la distance entre $$37$$ et $$45$$ vaut $$8$$.
Le rayon $${\color{blue}r}$$ de l'intervalle $$\left]37;45\right[$$ est alors $${\color{blue}r}=\frac{8}{2}$$ c'est à dire
Il en résulte donc que :
$$Y\in\left]37;45\right[$$ est équivalent à $$\left|Y-{\color{red}41}\right|< {\color{blue}4}$$

Si nous voulons utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, il faut que l'on se ramène à l'écriture suivante : $$P\left(\left|Y-{\color{blue}{E\left(Y\right)}}\right|\ge {\color{green}{a}}\right)$$ et dans notre situation à $$P\left(\left|Y-{\color{blue}{41}}\right|\ge {\color{green}{4}}\right)$$
Or l'événement contraire de $$|Y-{\color{blue}{41}}|<4$$ est l'événement $$|Y-{\color{blue}{41}}| \ge 4$$.
D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a :
$$P\left(\left|Y-{\color{blue}{41}}\right|\ge {\color{green}{4}}\right)\le \frac{{\color{red}{V\left(Y\right)}}}{{\color{green}{4}}^{2} }$$
$$P\left(\left|Y-{\color{blue}{41}}\right|\ge {\color{green}{4}}\right)\le \frac{{\color{red}{\dfrac{24,19}{150}}}}{{\color{green}{16}} }$$
$$P\left(\left|Y-{\color{blue}{41}}\right|\ge {\color{green}{4}}\right)\le \frac{24,19}{2400}$$
Or : $$P(37<Y<45)=P\left(\left|Y-41\right|<4\right)$$ et on sait que l'événement contraire de $$|Y-{\color{blue}{41}}|<4$$ est l'événement $$|Y-{\color{blue}{41}}| \ge 4$$ ce qui nous permet d'écrire que : $$P\left(\left|Y-{\color{blue}{41}}\right|\ge {\color{green}{4}}\right)=1-P\left(\left|Y-{\color{blue}{41}}\right|< {\color{green}{4}}\right)$$
Nous savons que :
$$P\left(\left|Y-{\color{blue}{41}}\right|\ge {\color{green}{4}}\right)\le \frac{24,19}{2400}$$
Il vient alors que :
$$1-P\left(\left|Y-{\color{blue}{41}}\right|< {\color{green}{4}}\right)\le \frac{24,19}{2400}$$
$$-P\left(\left|Y-{\color{blue}{41}}\right|< {\color{green}{4}}\right)\le \frac{24,19}{2400}-1$$
$$P\left(\left|Y-{\color{blue}{41}}\right|< {\color{green}{4}}\right)\ge 1-\frac{24,19}{2400}$$ . Ici nous allons multiplier par $$-1$$ et cela va changer le sens de l'inégalité.
Finalement :
or : $$1-\frac{24,19}{2400}\approx 0,989$$
D'où :